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Articles - Étudiants SUPINFO

Le pouvoir des puissances, une approche de l’infini.

Par Benjamin LABASTIE Publié le 15/08/2016 à 17:54:27 Noter cet article:
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Avis favorable du comité de lecture

Introduction

Notre perception est bien souvent erronée. Nous pensons connaître, croire ou estimer quelque chose mais est-ce vraiment ce qu’il en est ?

Prenons la Terre avec cette carte du monde :

- Le Groenland est-il plus grand que l’Australie ?

Bien évidemment, cela se voit !

Et pourtant, l’incapacité de l’homme à représenter une sphère sur un plan en 2D nous force à croire que le Groenland est plus grand que l’Australie alors que celle-ci l’est 3,5 fois plus que le Groenland.

On admettra que la Terre est sphérique, ce qui est presque le cas mais plus plate aux pôles l’auteur en est bien conscient.

D’autres planisphères tendent à mieux rendre les proportions avec un effet sphérique…

… sans grand succès vous l’admettrez.

Le trait rouge représentant la longueur de la Russie sur le planisphère, il est 2 fois plus grand que la longueur de la partie supérieure de l’Afrique alors qu'en réalité leurs longueurs sont identiques.

Pour ce qui est de notre cas, nous nous pencherons sur les nombres. Quelque soit le nombre auquel nous pensons, il existera toujours un autre nombre encore plus grand : il s’agit d’une route vers l’infini. Mais avons-nous bien conscience des nombres gigantesques pouvant être créés et des proportions réelles qu'ils impliquent ?

I) La légende de Sissa

a. Notion de puissance.

En Mathématiques, la manipulation de grands nombres entraîne rapidement un besoin d'utilisation de puissances.

La puissance sera représentée par un nombre avec en exposant un autre nombre. Ce premier sera multiplié par lui-même le nombre de fois que l'indique l'exposant.

b. Le jeu d’échec.

Un peu d'Histoire... Environ 3000 ans avant JC, en Inde, le Roi Belkib, pris d’un profond ennui, demanda à ce qu’on lui confectionne une distraction. Un certain sage Sissa lui proposa un nouveau jeu : les Echecs. Belkib, enthousiaste, demanda alors à Sissa ce qu'il souhaitait en tant que prix pour sa trouvaille.

Sissa lui proposa de disposer 1 grain de riz sur la première case de l'échiquier, 2 sur la seconde, 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième, 16 sur la cinquième, et ainsi de suite jusqu'à la 64ème case. Sa récompense serait le total des grains de riz ainsi répartis.

Belkib accepta d'abord avec insouciance, mais ne put honorer sa promesse. Le total des grains était en effet de 18 446 744 073 709 551 615, soit près de 400 000 000 000 tonnes de riz (800 fois la production mondiale annuelle pour 2014).

c. Interprétations.

Le nombre de grains de riz sur une case pourra s'écrire sous la forme d'une puissance de 2.

Le nombre de grains de riz total sera égal à la somme des grains de riz sur toutes les cases, soit :

Il est notable que les puissances font accroitre exponentiellement le résultat : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…

Ceci ne nous semble pas intuitif : on ne s’attend pas à produire un aussi grand résultat avec une aussi petite opération. C’est la croissance des puissances !

d. Introduction aux grands nombres.

Nous ne pouvons écrire le Gogolplex : comme 1 Gogol représente 100 000 000 000 000 000 000 d’univers en terme de particules et que le Gogolplex est un «1» suivi de 1 Gogol de «0», il faudrait écrire 1 chiffre sur chaque atome de 100 000 000 000 000 000 000 univers pour le noter en entier. On se doute qu’il est impossible d’avoir la place de l’écrire !

II) Les puissances itérées de Knuth

a. Introduction.

Pourquoi ne pas inventer une opération qui serait une répétition de puissances, voire une répétition de répétition(s) de puissances, etc… à l’infini ? Une porte ouverte aux très grands nombres !

Donald Knuth est un informaticien et mathématicien américain né en 1938. Il est l’un des pionniers de l’algorithmique et est mondialement reconnu pour son ouvrage The Art of Computer Programming (Se référer au cours de 2ADS.) En 1976, il créa une notation pour désigner ces opérations qui sont des répétitions de puissances.

b. Notation.

c. Exemple de calcul.

d. Notation simplifiée.

III) Le nombre de Graham

a. Introduction.

Ronald Graham est un mathématicien et informaticien américain né en 1935. Il créa en 1977 le nombre de Graham, comme solution en tant que borne supérieure au problème de la théorie de Ramsey. Ce nombre est actuellement le nombre le plus grand jamais utilisé dans une démonstration mathématique.

La théorie de Ramsey nommée d’après Frank Ramsey tente de répondre à la question suivante : «Combien d'éléments d'une certaine structure doivent être considérés pour qu'une propriété particulière se vérifie ?» ou «Le désordre complet est impossible».

L'auteur s'excuse pour cette mauvaise plaisanterie.

b. Graham et la théorie de Ramsey.

La question à laquelle Graham voulait répondre était : «Soit un hyper cube de dimension n dont on relie tous les couples de sommets pour obtenir un graphe complet à 2n sommets. Si l'on colorie chacune des 2n–1(2n – 1) arêtes du graphe en bleu ou en rouge, quelle est la plus petite valeur de n telle que pour chaque façon de colorier le graphe, il existe un sous-graphe complet monochrome sur quatre sommets coplanaires ?»

La réponse est encore inconnue mais un encadrement a été estimé.

La réponse est non, plus la dimension sera grande, moins il sera possible de l’éviter, jusqu’à une impossibilité de l’éviter ! La dimension où il n’est plus possible d’éviter ce cas, sera appelée Dimension du nombre de Graham inévitable.

Le calcul des arrêtes sera aussi simple que les autres mais avec un plus grand nombre.

c. Le nombre de Graham.

Merci Wikipédia pour la dernière image récapitulative.

Si l’intégralité des particules existant dans l’immensité de tout ce qui existe dans tous les univers avait une fin, ce nombre la dépasserait probablement. Ce nombre oblige l’utilisation des puissances de Knuth pour être écrit et cela ne suffit même pas puisqu’il faut 64 autres étapes pour y parvenir.

Conclusion

Et ces nombres inaccessibles, sont largement majoritaires sur l’échelle de l’infini, le nombre de Graham est un petit nombre à côté ! Nous n’avons connaissance, ni maîtrise de que d’infimes choses. Quelque soit la place choisie sur l’échelle de l’infini, il y aura toujours un nombre fini de nombres avant et un nombre infini de nombres après.

Sources

- Wikipedia pour certaines images et documentations.

- L'interview de Ronald Graham et autres vidéos liées.

- Les passages impliquant des formules ont nécessité l'utilisation de PowerPoint 2016 (d'où le grand nombre d'images).

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