Plan du site  
pixel
pixel

Articles - Étudiants SUPINFO

Et si l'infini, n'était pas infini ?

Par Benjamin LABASTIE Publié le 18/08/2016 à 21:47:52 Noter cet article:
(0 votes)
Avis favorable du comité de lecture

Introduction

L'infini. Une si belle notion pour désigner quelque chose d'inatteignable et de tellement immense. Notre univers est souvent considéré comme infini, ou en tous cas il n'a jamais été prouvé le contraire.

Cependant est-il réellement ce qu'il semble être ? Est-ce que l'infini est sans limite ? En Mathématiques il n'y a pas d'objection à le croire mais en pratique et particulièrement en Physique, cela semble difficile.

I) Une somme improbable

a. Aspect mathématique.

Lorsque l'on fait la somme de tous les nombres entiers positifs, on obtient ceci :

Le résultat peut sembler étrange voire absurde la réponse devrait être l'infini, mais voici la démonstration :

- Première étape :

- Deuxième étape :

Les opérations se font terme à terme.

- Troisième étape :

C étant notre somme.

Même si le résultat est là, on demeure sceptique : Comment une addition de nombres positifs peut donner un nombre négatif ? Comment une somme infinie de termes allant jusqu'à l'infini peut donner un aussi petit résultat ?

Il en va de même aussi pour cette somme que nous ne démontrerons pas ici :

b. Vers un cas concret.

Le résultat de cette somme aurait pu rester un mystère des Mathématiques, une des démonstrations sans sens pratique qui fait dire dans le monde des Sciences : "Ils sont fous ces mathématiciens".

C'était sans compter sur les travaux d'Hendrik Brugt Gerhard Casimir, un physicien néerlandais né en 1909, sur l'attraction de deux plaques parallèles et leur énergie au sein du vide. Nous ne rentrerons pas dans les détails de cette théorie de physique quantique, nous allons simplement nous concentrer sur les calculs.

En physique la présence d'une donnée infinie n'est jamais bon signe, Casimir s'est d'abord dit que son calcul n'était pas correct. Puis il s'est rappelé que des mathématiciens avaient démontré une valeur étrange pour la somme des entiers positifs, il a donc décidé de remplacer la somme par cette valeur au sein de ses calculs.

Casimir a beaucoup été critiqué, cela ne faisait aucun sens de se servir d'un résultat absurde démontré par des mathématiciens, en Physique. Cependant en appliquant les calculs de Casimir dans des expériences, ceux-ci se sont révélés exacts, et la valeur de -1/12 pour la somme des entiers positifs s'est retrouvée appliquée et juste dans un cas pratique.

Le résultat d'une somme infinie de nombres tendant vers l'infini devrait être infini, pourtant le calcul et la réalité viennent de nous prouver qu'il n'en était rien !

Un nombre infini de mathématiciens entrent dans un bar où la bière est à 3€. Le premier demande 1 pinte, le deuxière 2 pintes, le troisième 3 pintes, le quatrième 4 pintes, ... et ainsi de suite. Au moment de payer le barman leur tend 25 centimes et ils s'en vont. (-1/12 x 3€ = -0.25)

Voilà vous pourrez maintenant pourrir l'ambiance d'une soirée avec cette blague mathématique. A moins que vos amis aient bu autant que nos mathématiciens !

II) L'Univers et la géométrie

a. Introduction.

Laissons de côté les croyances religieuses, la théorie la plus répandue et généralement admise par la communauté scientifique concernant la création de l'univers est la théorie du Big Bang. Mais comment un nombre fini d'éléments créés ou regroupés lors de ce phénomène aurait-il pu donner naissance à une infinité d'objets ? Et le vide qui entoure ces objets, est-il infini ?

b. Remise en cause des concepts de base.

Les concepts de base des Mathématiques impliquent des démonstrations. Celles-ci peuvent être basées sur les résultats d'autres démonstrations qui elles-mêmes peuvent découler d'autres démonstrations. Mais à moment donné il a fallu poser des bases, décréter des choses sans les démontrer : les axiomes. Ceux-ci peuvent peut-être se vérifier dans la réalité mais en aucun cas il n'y a eu de démonstration ni de preuve pour les énoncer.

L'un des premiers à avoir posé les bases de la géométrie de notre monde est Euclide, un mathématicien sous la Grèce Antique. La géométrie euclidienne est la base qui est enseignée à tous dès le plus jeune âge et jamais personne n'avait osé remettre en cause celle-ci pendant 2000 ans.

Un des axiomes d'Euclide indiquait : "Soit une droite rouge et un point bleu, il n'existe qu'une seule droite passant par le point bleu et parallèle à la droite rouge."

Cela est évident.

Cependant, au XIXème siècle Gauss, Bolyai, et Lobatchevski remettent en cause cet axiome : en disant qu'il n'y a pas une seule droite, mais une infinité. Et ils construisent une nouvelle géométrie.

Ici les droites bleue, rouge et verte sont parallèles entre elles : deux droites perpendiculaires à une autre, sont parallèles.

Mais il aura fallu attendre le XXème siècle pour que le fait que d'autres géométries que celle d'Euclide puissent exister soit admis, grâce à Henri Poincaré.

Il est drôle de constater qu'un homme ayant révolutionné la géométrie porte deux éléments géométriques dans son nom.

c. La vision de Poincaré

Poincaré propose un modèle :

"Supposons, un monde renfermé dans une grande sphère et soumis aux lois suivantes : la température n'y est pas uniforme ; elle est maximum au centre et elle diminue à mesure qu'on s'en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint la sphère où ce monde est renfermé. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit, à mesure qu’on se rapprochera du cercle limite. Observons d’abord que si ce monde est limité au point de vue de notre géométrie habituelle, il paraîtra infini à ses habitants. Quand ceux-ci en effet veulent se rapprocher en effet du cercle limite, ils se refroidissent et deviennent de plus en plus petits. Leurs pas deviennent donc de plus en plus petits, de sorte qu’ils ne peuvent jamais atteindre ce cercle limite."

Etienne Ghys, un mathématicien français le détailla ainsi :

"Les êtres qui habitent dans ce monde ne peuvent pas savoir qu’ils rapetissent car s’ils se mesurent avec un mètre ruban, le mètre ruban également se rapetisse. Nous savons qu’ils se rapetissent mais eux ont une vie tout à fait normale et tout à fait cohérente.

S’ils veulent aller d’un point à un autre par le plus court chemin, nous pensons qu’ils auront tendance à se rapprocher du centre, car leurs pas sont plutôt plus grands vers le centre.

Alors on peut démontrer que le plus court chemin d’un point à un autre dans cette géométrie imaginaire est un arc de cercle perpendiculaire au cercle limite. Leurs droites à eux sont nos cercles à nous. Et vous voyez que dans leur géométrie, l’axiome d’Euclide n’est pas satisfait.

Il y a une infinité de parallèles qui passent par un point. Et ces gens sont raisonnables, ils ne savent pas qu’ils rapetissent. Mais ils sont tout aussi raisonnables que nous qui ignorons probablement beaucoup d’autres choses.

La morale de cette petite histoire de Poincaré est qu’on peut très bien envisager beaucoup de mondes extrêmement raisonnables, chacun ayant sa géométrie, chacun ayant sa logique et qui chacun peuvent nous apporter une vision de notre monde concret.

Le mathématicien d'aujourd’hui pour résoudre un problème, pour étudier une question, va utiliser une géométrie, va prendre sa boite à outil, et va choisir la géométrie la plus convenable pour comprendre le problème étudié. Une géométrie ne peut être plus vraie qu’une autre, elle peut simplement être plus commode comme le disait Poincaré."

Nous comprenons mieux ainsi pourquoi ces droites sont parallèles entre elles.

Ce monde qui semble infini pour ces habitants est en réalité compris dans un espace fini et seul un élément extérieur en a conscience. Ce qui est peut-être notre cas. La notion d'infini ne dépendra que du point de vue.

Le jeu Pac-Man apporte aussi une certaine vision : le personnage pourra se croire dans un monde infini puisqu'il suffit de sortir d'un côté pour se retrouver de l'autre. Alors qu'en réalité il s'agit bel et bien d'un monde de dimensions finies.

En Mathématiques, cela s'appelle un Tore.

Il s'agit d'un univers fini sans bord.

Dans un Tore 3D, une personne aura l'impression de se trouver au sein d'un cube, si elle sort en haut elle apparait en bas, si elle sort à gauche elle apparait à droite et si elle sort devant elle apparait derrière ; l'inverse est aussi vrai. Il s'agit donc d'un univers Pac-Man 3D sans aucun bord. L'univers est pourtant fini mais apparaitra lui aussi infini pour ses habitants.

Marcher tout droit sur une sphère nous ramènera à notre point de départ. Une sphère est donc aussi un élément fini sans bord pouvant donner l'illusion de l'infini.

Le cas de la 3-sphère est un peu plus complexe : il sera perçu comme un disque par un habitant, et dès que le bord sera atteint par celui-ci, cet habitant aura le choix de l'endroit sur le bord où il réapparaitra (Pac-Man version disque).

Encore une géométrie qui semble infinie aux habitants de celle-ci mais qui se trouve dans un espace fini. Et il peut en exister beaucoup d'autres !

Conclusion

L'infini est une notion très utilisée cependant certains éléments qui semblent infinis peuvent ne pas l'être. Les différentes géométries prouvent que d'autres perceptions sont possibles voire nécessaires car c'est grâce à ces nouvelles géométries que la Physique quantique, la théorie de la relativité ou l'explication des trous noirs ont pu se faire.

Sources

- Conférence d'Etienne Ghys.

- Les équations et calculs ont été réalisés à l'aide de PowerPoint 2016.

A propos de SUPINFO | Contacts & adresses | Enseigner à SUPINFO | Presse | Conditions d'utilisation & Copyright | Respect de la vie privée | Investir
Logo de la société Cisco, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société IBM, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Sun-Oracle, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Apple, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Sybase, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Novell, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Intel, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Accenture, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société SAP, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Prometric, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo de la société Toeic, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management Logo du IT Academy Program par Microsoft, partenaire pédagogique de SUPINFO, la Grande École de l'informatique, du numérique et du management

SUPINFO International University
Ecole d'Informatique - IT School
École Supérieure d'Informatique de Paris, leader en France
La Grande Ecole de l'informatique, du numérique et du management
Fondée en 1965, reconnue par l'État. Titre Bac+5 certifié au niveau I.
SUPINFO International University is globally operated by EDUCINVEST Belgium - Avenue Louise, 534 - 1050 Brussels