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Articles - Étudiants SUPINFO

La Quatrième Dimension (4D)

Par Benjamin LABASTIE Publié le 08/09/2016 à 01:12:57 Noter cet article:
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Introduction

On considère bien souvent que la quatrième dimension est le temps. En effet, dans certaines sciences physiques de nombreux modèles considèrent l'Espace-Temps dans son ensemble comme un objet de dimension 4. La 4D permet de modéliser l'Espace-Temps certes, mais aussi bien plus que cela : la phrase "la 4D est le temps" est donc fausse (Ne pas confondre réciproque et contraposée d'une implication, voir le cours de 1SET). Nous allons tenter de faire une approche simple de la quatrième dimension.

Un tesseract, un cube en 4D.

Pour bien comprendre l'univers des dimensions et en complément de cet article, il peut être intéressant de jeter un oeil à Flatland, une allégorie écrite en 1884 par Edwin Abbott mais où le film de 2007 est beaucoup plus parlant. Il raconte la perception des éléments en 2D et leur confrontation avec un univers en 3D.

I) Qu'est-ce que la quatrième dimension ?

a. Qu'est-ce qu'une dimension ?

Pour bien comprendre ce qu'est la quatrième dimension, il faut commencer par comprendre ce qu'est une dimension et ce que sont les dimensions précédentes.

Une dimension représente un ensemble de déplacements possibles par un élément en fonction d'axes indépendants régis par des directions. Attention à ne pas confondre direction et sens : une direction possède 2 sens.

b. Première dimension.

En 1D un objet se déplace sur une direction, une ligne continue. (gauche-droite)

c. Deuxième dimension.

En 2D un objet se déplace sur 2 directions indépendantes. (gauche-droite et haut-bas)

Les directions peuvent naturellement être combinées pour que l'objet puisse se déplacer partout dans le plan. On considère la représentation sous forme d'axes perpendiculaires (x, y) car étant la plus simple mais quelque soit l'angle le résultat obtenu sera le même.

La notion de directions indépendantes est très importante : si une direction permet l'accès aux mêmes points que les directions précédentes (points sur les directions-mêmes exclus), alors la direction n'est pas indépendante et ne peut donc être prise en compte.

Soit une troisième direction non-indépendante :

Cette droite ajoutée sur le plan en 2D, ne sera pas considérée comme de la 3D.

En effet, on peut accéder par les deux directions ou par la nouvelle direction aux mêmes points.

d. Troisième dimension.

En 3D un objet se déplace sur 3 directions indépendantes. (gauche-droite, haut-bas et avant-arrière)

Un accès à de nouveaux points dans l'espace (des volumes) est maintenant possible.

e. Quatrième dimension.

Avec les trois directions précédentes, la définition de la 4D devient évidente. En 4D un objet se déplace sur 4 directions indépendantes. Il est donc nécessaire de rajouter une direction indépendante à la 3D, perpendiculaire aux trois autres directions. (gauche-droite, haut-bas et avant-arrière)

Cette direction aura deux sens : ana et kata (Notation imaginée par Charles Howard Hinton 1853-1907, mathématicien britanique)

Il y aura donc quatres directions : gauche-droite, haut-bas, avant-arrière, ana-kata. Cette direction ana-kata sera le passé-futur en sciences physiques.

La compréhension de la logique de cette définition est assez aisée, mais la représentation de la 4D est plus complexe et impossible à se figurer dans notre monde physique.

II) La représentation de la quatrième dimension

a. Analogie vers la dimension inférieure.

Pour nous représenter la quatrième dimension, nous allons nous demander comment nous pourrions expliquer la 3D à des créatures en 2D. (On doit ici comprendre la 4D alors que nous sommes en 3D)

Les créatures vivent donc dans leur plan et peuvent se déplacer vers le haut, le bas, la gauche ou la droite.

Pour lui faire comprendre la notion de volume, nous allons faire passer progressivement dans son plan un objet en 3D, comme une sphère.

L'auteur s'excuse pour les dessins plus que laids.

La créature va ainsi voir tranche par tranche l'intégralité de la sphère à certains instants t pendant que la sphère traverse son plan.

Il est donc aisé de déduire comment la 4D nous apparaitrait. Si une créature 2D voit un cercle lorsqu'une sphère est dans son plan ou une succession de cercles si la sphère le traverse, une hypersphère (sphère en 4D) nous semblerait être une sphère ou une succession de sphères si elle traverse notre plan. Nous verrions ainsi l'intégralité de l'hypersphère mais nous ne l'aurions pas vu d'un coup dans son ensemble.

Le concept reste identique pour le principe de cube de d'hypercube.

Si le cube entre de face, le carré visible par la créature 2D sera toujours le même : il apparaitra puis disparaitra d'un coup. Il en va de même pour l'hypercube.

En revanche, si le cube et l'hypercube entrent par la diagonale, la figure qui apparait est bien différente :

Nous reviendrons plus tard sur la géométrie de l'hypercube car celle-ci est un peu plus complexe qu'énoncée.

Voici quelques figures en 4D qui traversent le plan à des instants t :

Un hypercylindre

Pour s'en convaincre il suffit de faire passer la figure correspondante en 3D dans un plan en 2D et d'élever les tranches successives à une dimension 3D. Un cylindre donne des tranches-cercle identiques, un hypercylindre donne donc des tranches-sphères identiques.

Un hypercône

Cette vue via les tranches tri-dimensionnelles possède un défaut : on n'observe jamais la figure 4D dans son ensemble (que des petites parties les unes à la suite des autres).

b. Représentation en perspective.

Une autre représentation de la quatrième dimension, consiste à représenter les objets 4D en perspective.

Exemple de l'intérêt d'une perspective :

On voit sur cette image un cube, or l'écran sur lequel on la regarde ne transmet qu'une perspective 2D. Il ne s'agit donc pas d'un volume mais d'une représentation 2D d'un volume (en 3D), cette représentation semble pourtant habituelle. Or la perspective implique la déformation de certaines faces (ou arêtes), notamment celles qui font appel à la profondeur car impossible à représenter en 2D. La direction avant-arrière sera représentée dans le cas 3D par des diagonales.

Comme le cube est composé de 6 faces qui sont des carrés, pour faire une représentation en perspective d'un hypercube il nous faudra plusieurs cellules (composantes tri-dimensionnelles) qui sont des cubes (8 en l'occurence mais nous y reviendrons).

Patron d'un hypercube (basé sur le patron d'un cube mais ce patron devient 3D)

Nous allons représenter un cube, puis un autre cube décalé qui ne sera donc pas dans le même espace que le premier (décalé dans la direction ana-kata) et enfin tracer les différentes arêtes qui relient les 2 cubes dans la direction ana-kata.

Une rotation permet d'avoir un meilleur ordre d'idée.

Attention, il ne s'agit là que de certaines représentations de l'hypercube, il en existe beaucoup d'autres. Comme pour le cube...

... cela dépend du point de vue adopté.

Un autre exemple avec une hyperpyramide, sous 2 angles différents :

c. Représentation par code couleurs.

Telle une carte topographique ou une échelle de température, une échelle de couleurs pourra être utilisée pour symboliser la distance d'un objet dans la quatrième dimension (sa place sur l'axe ana-kata).

Pour que deux objets se trouvent au même endroit dans un espace 4D, il faut donc qu'il se trouve à la même position sur un axe tri-dimensionnel (3D) mais aussi qu'ils aient la même couleur (symbole de la position ana-kata).

Les 2 objets ne se touchent pas : certes ils ont une collision dans un espace 3D, mais ils ne sont pas à la même position dans une direction ana-kata.

Bonus 1 :

Pour s'évader d'une prison 2D, une créature 2D doit faire appel à la 3D pour passer au dessus ou en dessous :

Pour s'évader d'une prison (3D), nous devons donc faire appel à la direction ana-kata. Le secret du Passe-Muraille ?

Bonus 2 :

Avez-vous déjà remarqué qu'en tant qu'être en 3D, vous aviez le pouvoir de regarder à l'intérieur des êtres en 2D ? A l'intérieur des formes en 2D ? Qu'une créature en 2D est incapable de vous voir mais que vous voyez l'intégralité de son monde et même l'intérieur des choses en 2D ?

Pour un être en 4D c'est la même chose : il nous voit mais nous ne le voyons pas. Il voit l'intérieur de notre corps, de notre maison, rien ne lui est masqué !

III) L'hypercube

a. Définition.

L'hypercube que nous évoquons depuis le début est une figure géométrique de la quatrième dimension qui est l'équivalent en 4D de ce qu'est le cube en 3D ou le carré en 2D. Il s'agit d'un abus de langage car un hypercube peut être de dimension 5, 6, 7, etc... Son véritable nom est tesseract ou hypercube de dimension 4 (4D-hypercube).

Petit rappel de sa construction.

Son nombre de sommets sera égal à :

Où 2 représente le dédoublement effectué pour passer à la dimension supérieure et 4 le numéro de la dimension.

Son nombre d'arêtes sera égal à :

Où 12 représente le nombre d'arêtes du cube, le deuxième 12 le nombre d'arêtes pour la translation de celui-ci et 8 le nombre de jonctions entre les 2 cubes.

Son nombre de faces sera égal à :

Où 6 représente le nombre de faces du cube, le deuxième 6 le nombre de faces pour la translation de celui-ci et 12 le nombre de faces-jonctions entre les 2 cubes.

Le nombre de cellules cubiques (nombre de cubes 3D qui composent l'hypercube 4D) sera égal à 8 : les 2 cubes de bases (départ et translation) et 1 cellule par face d'un cube soit 6 faces supplémentaires générées lors du déplacement ana-kata.

b. Calculs élémentaires.

Volume du tesseract :

Soit un carré de longueur de côté C.

Pour calculer l'aire d'un carré la formule bien connue est :

Un carré de longueur 2 cm aura donc une aire de 4 cm2.

Soit un cube de longueur de côté C.

Pour calculer le volume d'un cube la formule bien connue est :

Un cube de longueur 2 cm aura donc un volume de 8 cm3.

Le volume du tesseract devient évident...

Soit un tesseract de longueur de côté C.

Pour calculer le volume d'un tesseract la formule est :

Un tesseract de longueur 2 cm aura donc un volume de 16 cm4.

Le volume d'une figure d'origine carrée sera la longueur de son côté élevée à la puissance de la dimension correspondante.

Diagonale du tesseract :

Nous utiliserons naturellement pour cela le théorème de Pythagore. Son application dans l'espace est tout aussi simple et intuitive que dans un plan en 2D.

Soit un carré de longueur de côté C.

Pour calculer la diagonale d'un carré la formule est :

Un carré de longueur 2 cm aura donc une diagonale de 2.83 cm environ.

Soit un cube de longueur de côté C.

Pour calculer la diagonale d'un cube la formule est :

Un cube de longueur 2 cm aura donc une diagonale de 3.46 cm environ.

La diagonale du tesseract devient évidente...

Soit un tesseract de longueur de côté C.

Pour calculer la diagonale d'un tesseract la formule est :

Un tesseract de longueur 2 cm aura donc une diagonale de 4 cm (2 fois son côté).

La diagonale d'une figure d'origine carrée sera la racine de la dimension correspondante multipliée par la longueur de son côté au carré.

Conclusion

Certes le bâtiment représente un tesseract, mais la projection 360° d'une animation 3D n'est rien de plus qu'une copie du monde réel appliquée à une fiction. Nous vivons dans un monde 3D à 360° et pourtant ce n'est pas de la 4D loin de là ! Voir le contenu de l'intestin d'Arthur à travers lui aurait pourtant été une expérience intéressante, enfin je crois.

Pour être plus sérieux, la quatrième dimension est un univers bien plus complexe qu'il n'y parait, il ne s'agissait ici que d'une ébauche. L'utilisation de l'axe ana-kata permet de donner l'illusion de disparaître, de traverser les murs aux yeux de la 3D ou permet de voir à travers les éléments de la 3D (ce qui permettrait beaucoup de choses notamment dans le domaine du médical, car on peut intéragir directement avec l'intérieur du corps 3D), etc...

Beaucoup de rêves humains possibles à l'aide d'un peu de géométrie (et si nous parvenons un jour à utiliser cette 4D) !

Sources

- Mickaël Launay "La quatième dimension"

- yEd Graph Editor et Paint ont été utilisés pour la réalisation de schémas et PowerPoint 2016 pour les équations.

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