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Articles - Étudiants SUPINFO

Chapitre 01 - Calcul matriciel

Dans ce premier chapitre, nous allons tout d'abord présenter le concept de matrice, puis nous étudierons les différentes opérations que l'on peut effectuer avec.

Généralités sur les matrices

Cette partie sera consacrée à la définition de la notion de matrice, ainsi qu'à la présentation des différents types de matrices les plus utilisés.

Définitions

Une matrice n'est ni plus ni moins qu'un tableau à deux dimensions de nombres.

Définitions

Soient n,p * .

On appelle matrice réelle à n lignes et p colonnes un tableau de nombres réels comportant n lignes et p colonnes.

L'ensemble des matrices réelles à n lignes et p colonnes se note M n , p ( ) .

Soit A M n , p ( ) . Pour 1 i n et 1 j p , le coefficient de A situé à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est usuellement noté a i , j .

On peut alors désigner A par

A = ( a i , j ) 1 i n , 1 j p

Voici donc l'allure générale d'une matrice A

A = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , p a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , p a n , 1 a n , 2 a n , p )
[Note]

On pourrait de la même façon définir des matrices dont les coefficients seraient des nombres complexes. Leur étude n'en serait guère différente mais nous ne la ferons pas.

[Note]

Par convention on utilisera une majuscule pour désigner une matrice, et la même lettre en minuscule pour ses coefficients.

Voici un premier exemple afin de bien fixer les idées.

Example 1.1. Une matrice et ses coefficients

Soit A M 3 , 2 ( ) définie par

A= ( 5 3 0 7 4 1 )

Ses coefficients sont donc

a 1 , 1 = 5 , a 1 , 2 = 3 , a 2 , 1 = 0 , a 2 , 2 = 7 , a 3 , 1 = 4 , a 3 , 2 = 1

[Note]

Le lecteur ayant quelques notions de programmation ne pourra que constater que l'on repère un coefficient d'une matrice de la même façon qu'une valeur dans un tableau bidimensionnel : d'abord le numéro de la ligne puis celui de la colonne.

La différence étant qu'en mathématiques on commence l'indexation à 1.

Une matrice bien particulière est celle dont tous les coefficients sont nuls.

Définition

Soient n,p * .

La matrice de M n , p ( ) dont tous les coefficients sont égaux à zéro est appelée la matrice nulle de M n , p ( ) et est notée O n , p .

On a ainsi

O n , p = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
[Note]

Chaque ensemble M n , p ( ) possède donc une et une seule matrice nulle.

Matrices colonnes et lignes

Les définitions suivantes concernent des matrices ne possédant qu'une seule ligne ou une seule colonne.

Définitions

Soient n,p * , et A M n , p ( ) .

Si p = 1 , on dit que A est une matrice colonne ou un vecteur

A= ( a 1 , 1 a 2 , 1 a n , 1 )

Si n = 1 , on dit que A est une matrice ligne

A= ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , p )

Ces notions sont très simples mais donnons tout de même un petit exemple.

Example 1.2. Une matrice colonne et une matrice ligne

Voici une matrice colonne, aussi appelé un vecteur

( 5 2 - 1 0 - 3 )

Voici une matrice ligne

( 18 2 - 6 - 7 0 )

Matrices carrées

Les matrices les plus utilisées et donc les plus importantes seront celles possédant un même nombre de lignes que de colonnes. Sans surprise nous les qualifierons de carrées.

Définition

Soient n,p * , et A M n , p ( ) .

Si n = p , on dit que A est une matrice carrée d'ordre n.

L’ensemble des matrices carrées d’ordre n se note M n ( ) .

[Note]

On simplifie donc la notation M n , n ( ) en M n ( ) .

Même si cette définition est simplissime, ne nous privons pas d'un petit exemple.

Example 1.3. Une matrice carrée

Voici une matrice carrée d'ordre 4

( 1 4 6 0 - 1 2 0 5 3 - 5 3 1 1 2 1 8 )

Certains coefficients des matrices carrées vont jouer un rôle important dans la suite de ce cours, ce sont ceux situés sur la diagonale allant du "coin" en haut à gauche vers celui en bas à droite.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

Les éléments ( a i , i ) 1 i n de la matrice A s'appellent les coefficients diagonaux de A.

Ce sont donc les coefficients de A ayant un numéro de ligne égal à leur numéro de colonne. Les voici mis en évidence en rouge

A = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , n a n , 1 a n , 2 a n , n )

L'ensemble de tous les coefficients diagonaux d'une matrice A s'appelle la diagonale de A.

[Note]

Cette définition n'a bien sûr de sens que pour des matrices carrées.

Un petit exemple n'est jamais superflu.

Example 1.4. La diagonale d'une matrice

Soit A M 4 ( ) définie par

A= ( 1 4 6 0 - 1 2 0 5 3 - 5 3 1 1 2 1 8 )

La diagonale de A est ici colorée en rouge

A= ( 1 4 6 0 - 1 2 0 5 3 - 5 3 1 1 2 1 8 )

Ce sont donc les coefficients a 1 , 1 =1, a 2 , 2 =2, a 3 , 3 =3 et a 4 , 4 =8.


Certaines matrices auront un rôle majeur par la suite, ce sont celles possédant des coefficients nuls en dehors de la diagonale. Voir en particulier le quatrième chapitre de ce cours.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

Si pour tout i , j tels que 1 i n , 1 j n , et i j on a a i , j = 0 , alors la matrice A est dite diagonale.

Il s'agit donc de matrices de la forme

A= ( a 1 , 1 0 0 0 a 2 , 2 0 0 0 a n , n )
[Note]

Bien comprendre qu'il n'y a pas de conditions sur la valeur des coefficients diagonaux, ils peuvent être nuls ou non. La matrice nulle de M n ( ) est ainsi diagonale.

Visualisons maintenant cette notion grâce à un exemple.

Example 1.5. Une matrice diagonale

Voici une matrice diagonale

( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 3 0 0 0 0 0 )

Présentons maintenant un cas très particulier de matrice diagonale, la matrice identité.

Définition

Soient n * .

La matrice carrée diagonale d'ordre n dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 est appelée matrice identité d'ordre n et est notée I n .

On a donc

I n = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )
[Note]

Chaque ensemble M n ( ) possède donc une et une seule matrice identité.

On peut à présent définir le concept de matrice triangulaire supérieure en requérant la nullité des coefficients situés en dessous de la diagonale.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

Si pour tout i , j tels que 1 i n , 1 j n , et i > j on a a i , j = 0 , alors la matrice A est dite triangulaire supérieure.

Il s'agit donc de matrices de la forme

A= ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , n 0 a 2 , 2 a n - 1 , n 0 0 a n , n )
[Note]

Bien comprendre que la condition i > j concerne les coefficients dont le numéro de ligne est plus grand que le numéro de colonne, c'est-à-dire les coefficients situés en dessous de la diagonale.

Illustrons maintenant cette définition par un exemple.

Example 1.6. Une matrice triangulaire supérieure

Voici une matrice triangulaire supérieure

( 1 - 5 3 0 - 2 1 0 0 0 )

La notion de matrice triangulaire inférieure va bien sûr être similaire à la précédente, avec cette fois-ci des coefficients nuls au dessus de la diagonale.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

Si pour tout i , j tels que 1 i n , 1 j n , et i < j on a a i , j = 0 , alors la matrice A est dite triangulaire inférieure.

Il s'agit donc de matrices de la forme

A= ( a 1 , 1 0 0 a 2 , 1 a 2 , 2 0 a n , 1 a n , n - 1 a n , n )
[Note]

La condition i < j va cette fois concerner les coefficients dont le numéro de ligne est plus petit que le numéro de colonne, et donc les coefficients situés au dessus de la diagonale.

Un dernier petit exemple pour finir cette première partie.

Example 1.7. Une matrice triangulaire inférieure

Voici une matrice triangulaire inférieure

( 3 0 0 5 2 0 0 4 - 1 )

[Note]

On peut définir la notion de matrice strictement triangulaire supérieure et strictement triangulaire inférieure en imposant également que la diagonale soit nulle.

Opérations sur les matrices

Nous allons nous intéresser dans cette seconde partie aux opérations que l'on effectuer sur des matrices. Certaines seront formellement analogues à celles bien connues des nombres réels, et d'autres beaucoup plus spécifiques.

Addition de deux matrices

L'addition de matrices va être une opération simple à définir, puisqu'elle va consister à réaliser des additions termes à termes.

Définition

Soient n,p * , et A,B M n , p ( ) .

On définit la somme de A et B comme étant la matrice C M n , p ( ) vérifiant

1 i n , 1 j p , c i , j = a i , j + b i , j

On note alors C = A + B .

[Warning]

Pour pouvoir définir la somme de deux matrices il est donc nécessaire qu'elles soient de même taille, i.e. qu'elles possèdent le même nombre de lignes et de colonnes.

Cette opération est donc extrêmement simple, il suffit juste d'additionner deux à deux les coefficients situés à une même position dans chacune des matrices.

Présentons un exemple où l'on effectue une telle addition.

Example 1.8. Une addition de deux matrices

Considérons les matrices

A = ( 1 0 - 1 2 1 4 ) , B = ( 0 - 1 - 2 - 3 1 5 )

Ces deux matrices possèdent chacune deux lignes et trois colonnes, on peut donc les additionner. On a alors

C = A + B = ( 1 - 1 - 3 - 1 2 9 )

Explicitons le calcul de l'un des coefficients, par exemple celui situé sur la seconde ligne et première colonne de C

C = ( 1 - 1 - 3 - 1 2 9 )

Il faut donc considérer les coefficients situés eux aussi sur la seconde ligne et première colonne de A et B

A = ( 1 0 - 1 2 1 4 ) , B = ( 0 - 1 - 2 - 3 1 5 )

Puis en effectuer la somme : 2 + ( - 3 ) = - 1 .

On procède ainsi pour tous les coefficients.


Voici maintenant quelques propriétés vérifiées par l'opération d'addition, le lecteur les vérifiera sans peine.

Propriétés

Soient n,p * , et A,B,C M n , p ( ) .

On a :

  • A + B = B + A , i.e. l'addition est commutative.

  • ( A + B ) + C = A + ( B + C ) , i.e. l'addition est associative.

  • A + O n , p = O n , p + A = A , i.e. la matrice nulle est un élément neutre pour l'addition.

[Note]

Un élément neutre pour une opération binaire est défini par le fait que le résultat de l'opération entre l'élément neutre et n'importe quel élément est ce dernier. En quelque sorte il n'influe pas sur le résultat de l'opération.

Comme par exemple 1 pour la multiplication des réels, l'ensemble vide pour la réunion et donc la matrice nulle pour l'addition matricielle.

Multiplication d'une matrice par un réel

Cette opération revient à multiplier tous les coefficients d'une matrice par un même nombre réel.

Définition

Soient n,p * , A M n , p ( ) , et λ .

On définit le produit de A par λ comme étant la matrice D M n , p ( ) vérifiant

1 i n , 1 j p , d i , j = λ × a i , j

On note alors D = λ . A .

[Note]

Pour cette opération, il n'y a donc aucune contrainte sur la taille de la matrice.

On omettra vite le . entre λ et A.

Voici un petit exemple illustrant cette multiplication par un réel.

Example 1.9. Une multiplication d'une matrice par un réel

Considérons le réel λ = - 2 et la matrice

A = ( 1 3 2 - 4 - 1 0 )

On peut effectuer la multiplication de A par λ, et l'on obtient

D = λ . A = ( - 2 - 6 - 4 8 2 0 )

Explicitons le calcul de l'un des coefficients, par exemple celui situé sur la troisième ligne et première colonne de D

D = ( - 2 - 6 - 4 8 2 0 )

Il faut donc considérer le coefficient situé lui aussi sur la troisième ligne et première colonne de A

A = ( 1 3 2 - 4 - 1 0 )

Puis effectuer le produit : ( - 2 ) × ( - 1 ) = 2 .

On procède ainsi pour tous les coefficients.


La plupart des propriétés suivantes sont élémentaires, nous laisserons d'ailleurs le lecteur réfléchir à leurs preuves.

Propriétés

Soient n,p * , A,B M n , p ( ) , et λ , μ .

On a :

  • λ . ( A + B ) = λ . A + λ . B , i.e. la multiplication d'une matrice par un réel est distributive par rapport à l'addition de matrices.

  • ( λ + μ ) . A = λ . A + μ . A , i.e. la multiplication d'une matrice par un réel est distributive par rapport à l'addition des réels.

  • 1 . A = A , i.e. 1 est un élément neutre pour la multiplication d'une matrice par un réel.

  • 0 . A = O n , p .

Multiplication de deux matrices

Définir la multiplication de deux matrices est bien plus délicat que l'addition et pourra sembler peu naturel au lecteur dans un premier temps. Cela prendra cependant tout son sens lors des prochains chapitres de ce cours.

[Note]

On aurait pu définir la multiplication de façon similaire à l'addition, c'est-à-dire terme à terme pour des matrices de même taille, mais le résultat n'aurait eu aucune interprétation mathématique intéressante.

Définition

Soient n,p,q * , A M n , q ( ) , et B M q , p ( ) .

On définit le produit de A par B comme étant la matrice C M n , p ( ) vérifiant

1 i n , 1 j p , c i , j = k = 1 q a i , k b k , j

On note alors C = A B .

[Warning]

Pour pouvoir définir le produit AB de deux matrices, il est donc nécessaire que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.

[Note]

Le produit AB de deux matrices, s'il existe, comportera le même nombre de lignes que A et le même nombre de colonnes que B.

Pour calculer le le terme c i , j du produit C, on effectue donc la somme des produits suivants :

  • Le produit du premier terme de la i-ème ligne de A avec le premier terme de la j-ème colonne de B.

  • Le produit du second terme de la i-ème ligne de A avec le second terme de la j-ème colonne de B.

  • ...

  • Le produit du dernier terme de la i-ème ligne de A avec le dernier terme de la j-ème colonne de B.

[Note]

On retrouve bien la contrainte qu'il doit y avoir autant de coefficients dans une ligne de A que dans une colonne de B.

Ainsi, pour déterminer c i , j

( c 1 , 1 c 1 , p c i , j c n , 1 c n , p )

Il faut donc considérer la i-ème ligne de A

( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , q a i , 1 a i , 2 a i , q a n , 1 a n , 2 a n , q )

Ainsi que la j-ème colonne de B

( b 1 , 1 b 1 , j b 1 , p b 1 , 1 b 1 , j b 1 , p b q , 1 b q , j b q , p )

Puis effectuer le calcul

c i , j = k = 1 q a i , k b k , j = a i , 1 b 1 , j + a i , 2 b 2 , j + + a i , q b q , j

Un petit exemple clarifiera les idées si besoin est.

Example 1.10. Une multiplication de deux matrices

Considérons les matrices

A = ( 1 2 1 1 0 3 ) , B = ( 1 2 3 - 2 - 1 0 1 - 1 2 1 1 0 )

La matrice A possède trois colonnes et la matrice B trois lignes, on peut donc effectuer le produit AB. Comme remarqué précédemment, ce produit comportera autant de lignes que A et autant de colonnes que B, c'est-à-dire deux lignes et quatre colonnes.

On a alors

C = A B = ( 1 3 6 - 4 8 5 6 - 2 )

Explicitons le calcul de l'un des coefficients, par exemple celui situé sur la seconde ligne et troisième colonne de C

C = ( 1 3 6 - 4 8 5 6 - 2 )

Il faut donc considérer la seconde ligne de A et la troisième colonne de B

A = ( 1 2 1 1 0 3 ) , B = ( 1 2 3 - 2 - 1 0 1 - 1 2 1 1 0 )

Puis effectuer la somme de produits

1 × 3 + 0 × 1 + 3 × 1 = 6

On procède ainsi pour tous les coefficients.


[Note]

On notera que sur cet exemple le produit AB est défini mais que BA ne l’est pas. En effet B possède quatre colonnes et A deux lignes.

La mulitiplication matricielle vérifie quelques propriétés naturelles.

Propriétés

Soient n,p,q,r * , A, A M n , q ( ) , B, B M q , p ( ) , et C M p , r ( ) .

On a :

  • A ( B C ) = ( A B ) C , i.e. la multiplication est associative.

  • A ( B + B ) = A B + A B , i.e. la multiplication est distributive à gauche par rapport à l'addition.

  • ( A + A ) B = A B + A B , i.e. la multiplication est distributive à droite par rapport à l'addition.

  • A I q = I n A = A , i.e. la matrice identité est un élément neutre pour la multiplication.

  • A O q , p = O n , p , i.e. la matrice nulle est un élément absorbant pour la multiplication.

  • O p , n A = O p , q , i.e. la matrice nulle est un élément absorbant pour la multiplication.

[Note]

Un élément absorbant pour une opération binaire est défini par le fait que le résultat de l'opération entre n'importe quel élément et l'élément absorbant est l'élément absorbant. En quelque sorte il impose le résultat de l'opération.

Comme par exemple zéro pour la multiplication des réels, l'ensemble vide pour l'intersection et donc la matrice nulle pour la multiplication matricielle.

L'une des caractéristiques les moins intuitives de la multiplication matricielle est qu'elle n'est pas commutative, ce que met en évidence la propriété suivante.

Propriété

Soient n,p * , A M n , p ( ) , et B M p , n ( ) .

En général, on a A B B A .

Démonstration

Il suffit de trouver un contre exemple à l'égalité.

Soient

A = ( 1 1 0 0 ) , B = ( 1 2 - 1 - 2 )

On a

A B = ( 0 0 0 0 ) , B A = ( 1 1 - 1 - 1 )
[Note]

Lors de la preuve précédente, on a également exhibé deux matrices non nulles dont le produit est nul. Encore un résultat peu intuitif.

Transposition d’une matrice

L'opération de transposition va consister à modifier les emplacements des coefficients d'une matrice.

Définition

Soient n,p * , et A M n , p ( ) .

On définit la transposée de A comme étant la matrice C M p , n ( ) vérifiant

1 i p , 1 j n , c i , j = a j , i

On note alors C = A t .

[Note]

Il n'y a bien sûr aucune contrainte sur la taille de la matrice pour cette opération de transposition.

Ainsi, pour calculer une transposée il suffit juste d'effectuer une permutation entre les lignes et les colonnes. La transposée d'une matrice A aura alors autant de lignes que A possédait de colonnes et inversement.

Illustrons ce concept, au demeurant assez simple, par un exemple.

Example 1.11. Transposition d'une matrice

Considérons la matrice

A = ( 1 2 3 4 5 6 )

Sa transposée est alors

A t = ( 1 4 2 5 3 6 )

Voici quelques propriétés vérifiées par l'opération de transposition.

Propriétés

Soient n,p,q,r * , A, A M n , q ( ) , B M q , p ( ) , et λ .

On a :

  • ( A + B ) t = A t + B t .

  • ( A t ) t = A , i.e. la transposition est involutive.

  • ( λ . A ) t = λ . A t .

  • ( A B ) t = B t A t .

[Note]

Rappelons qu'une opération unaire est involutive si quand elle est appliquée deux fois de suite elle ne modifie pas l'opérande.

La notion de transposition permet de définir deux types de matrices bien spécifiques qui joueront un rôle important en algèbre linéaire.

Définitions

Soient n * , et A M n ( ) .

Si A t = A , on dit que A est symétrique.

Si A t = - A , on dit que A est antisymétrique.

Le terme symétrique fait donc référence à une symétrie par rapport à la diagonale. Cette définition ne concerne bien sûr que des matrices carrées.

Voici deux petits exemples de telles matrices.

Example 1.12. Matrices symétrique et antisymétrique

La matrice suivante est symétrique

( 1 2 3 2 - 12 7 3 7 0 )

Celle-ci est antisymétrique

( 0 2 3 4 - 2 0 - 1 7 - 3 1 0 - 6 - 4 - 7 6 0 )

Dans l'exemple précédent, la diagonale de la matrice antisymétrique est nulle. La propriété suivante stipule que c'est toujours le cas.

Propriété

Soient n * , et A M n ( ) .

Si A est antisymétrique, alors ses coefficients diagonaux sont nuls.

Démonstration

L'égalité A t = - A implique en particulier que 1 i n , a i , i = - a i , i . Ce qui signifie bien sûr que 1 i n , a i , i = 0 .

Inversion d’une matrice

Nous allons conclure ce chapitre en présentant la notion de matrice inversible.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

On dit que A est inversible dans M n ( ) s'il existe une matrice B M n ( ) telle que A B = B A = I n .

La matrice B est alors notée A - 1 et s’appelle l’inverse de A.

[Note]

Ce concept d'inversibilité est formellement le même que celui des nombres réels. Rappelons en effet qu'un réel x est inversible dans si et seulement si il existe un réel y tel que x y = 1 .

Il est également similaire à celui des entiers en arithmétique modulaire. Un entier a est en effet inversible modulo a s'il existe entier b tel que a b 1 [ m ] . Voir cours 1ARI à ce sujet.

Ce qui change à chaque fois, ce sont les définitions des opérations et l’élément unitaire.

Donnons de suite un exemple de matrice inversible.

Example 1.13. Inverse d'une matrice

Soient

A = ( 2 1 1 1 ) , B = ( 1 - 1 - 1 2 )

On vérifie aisément que A B = B A = I 2 .

Cela signifie que A est inversible et que A - 1 = B . De même B est inversible et B - 1 = A .


[Note]

Toutes les matrices ne sont pas inversibles, la matrice nulle ne l'est par exemple clairement pas.

On présentera dans le troisième chapitre de ce cours des critères pour affirmer qu’une matrice est ou non inversible, et le cas échéant des méthodes pour calculer son inverse.

Dans une égalité entre matrices, si un facteur commun aux deux termes est inversible, on pourra simplifier par celui-ci. C'est ce que stipulent les deux dernières assertions des propriétés suivantes.

Propriétés

Soient n * , et A,B,C M n ( ) .

On a :

  • Si A et B sont inversibles alors AB l'est aussi et ( A B ) - 1 = B - 1 A - 1 .

  • Si A C = B C et C est inversible alors A = B .

  • Si C A = C B et C est inversible alors A = B .

Démonstration

Commençons par la première propriété. On suppose donc que A et B sont inversibles. Cela signifie que A - 1 et B - 1 existent et donc également B - 1 A - 1 . Pour démontrer le résultat, il suffit alors de vérifier que ( A B ) ( B - 1 A - 1 ) = I n . Effectuons donc ce calcul. On a

( A B ) ( B - 1 A - 1 ) = A ( B B - 1 ) A - 1 = A I n A - 1 = A A - 1 = I n

On a successivement utilisé l'associativité de la multiplication, la définition d'un inverse, le fait que la matrice identité soit élément neutre pour la multiplication et de nouveau la définition d'un inverse.

Démontrons maintenant la deuxième propriété. La matrice C est donc supposée inversible, et partant de l'égalité A C = B C on doit arriver à A = B . Les arguments utilisés pour faire cela vont être les mêmes que précédemment, après avoir commencé par multiplier les deux membres de l'égalité par C - 1 .

A C = B C ( A C ) C - 1 = ( B C ) C - 1 A ( C C - 1 ) = B ( C C - 1 ) A I n = B I n A = B

La preuve de la troisième propriété étant évidemment similaire à celle de la deuxième, l'auteur la laisse de côté.

[Note]

Les propriétés de simplifications sont fausses avec une matrice non inversible. On peut facilement le constater avec la matrice nulle, ou encore en considérant les matrices

A = ( 4 0 0 4 ) , B = ( 2 2 2 2 ) , C = ( 1 1 1 1 )

On a A C = B C mais A B car la matrice C n'est pas inversible (ce que l'on justifiera lors du troisième chapitre).

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