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Articles - Étudiants SUPINFO

Chapitre 02 - Systèmes linéaires

Ce deuxième chapitre va être consacré à l'étude des systèmes linéaires. Après les avoir définis, nous apprendrons à les résoudre lorsqu'ils possèdent une forme spéciale dite échelonnée, et nous concluerons en apprenant comment mettre sous cette forme n'importe quel système donné.

Généralités

Dans cette première partie, nous allons présenter tous les concepts généraux relatifs aux systèmes linéaires, définition, vocabulaire, etc.

Définitions

Commençons bien sûr par la définition rigoureuse de la notion de système linéaire.

Définition

Soient n,p * . Pour 1 i n , 1 j p soient a i , j des nombres réels. Pour 1 i n soient b i des nombres réels.

On appelle système linéaire de n équations à p inconnues un système de la forme

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , p x p = b 1 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + + a 2 , p x p = b 2 a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + + a n , p x p = b n

Les rééls a i , j s'appellent les coefficients du système, tandis que les réels b i sont les seconds membres.

[Note]

Nous prendrons régulièrement l'habitude de nommer les différentes équations afin de les repérer plus facilement. Nous les désignerons ainsi par L i pour 1 i n

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , p x p = b 1 ( L 1 ) a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + + a 2 , p x p = b 2 ( L 2 ) a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + + a n , p x p = b n ( L n )

On utilisera de plus régulièrement le terme ligne à la place de celui d'équation.

Chacune des équations qui constituent le système doit donc être une application linéaire des différentes inconnues.

Présentons de suite un petit exemple.

Example 1.1. Systèmes linéaires ou non

Le système suivant est linéaire

{ 3 x 1 - 2 x 2 + 6 x 3 = 0 2 x 1 + 2 x 2 - 7 x 3 = 1

Ce système n'est par contre pas linéaire car une inconnue est élevée au carré

{ x 1 2 + 2 x 2 = 1 2 x 1 - 7 x 2 = 1

Ce terme de système signifie bien sûr que l'on va chercher à résoudre les différentes équations en même temps.

Définition

Résoudre un système linéaire consiste à trouver l'ensemble des p-uplets ( x 1 , x 2 , ... , x p ) vérifiant simultanément les n équations.

Ces p-uplets sont alors appelés solutions du système.

Terminons cette sous-partie en remarquant que deux systèmes a priori différents peuvent avoir les mêmes solutions. D'où la définition suivante.

Définition

Deux systèmes linéaires sont dits équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.

Opérations élémentaires

Certaines opérations sur les équations d'un système vont transformer celui-ci en un système équivalent. On les appelle des opérations élémentaires. Le but étant bien sûr de simplifier le système afin de le résoudre plus facilement.

[Note]

Dès la classe de quatrième on fait ce genre de choses avec des systèmes de deux équations à deux inconnues.

Voici la liste des différentes opérations élémentaires.

Propriété

Les opérations élémentaires sur les équations d’un système linéaire sont :

  • Echanger deux équations : L i L j .

  • Multiplier une équation par un réel non nul : L i a L i a .

  • Additionner un multiple d'une équation à une autre : L i L i + b L j b .

[Note]

Cela devrait paraïtre naturel au lecteur que ces opérations ne modifient pas l’ensemble des solutions d’un système.

Les flêches symbolisent ici bien sûr le remplacement, et i , j sont les indices de deux lignes du système.

Voyons tout de suite un exemple afin de fixer les idées.

Example 1.2. Opérations élémentaires

Considérons le système

{ x 1 + x 2 = 2 2 x 1 + 3 x 2 = 1

Effectuons l'opération élémentaire

L 2 L 2 - 2 L 1

Le système devient alors

{ x 1 + x 2 = 2 x 2 = - 3

La deuxième équation donne la valeur de x 2 , qu'il suffit de reporter dans la première pour avoir celle de x 1 . Finalement, on obtient

{ x 1 = 5 x 2 = - 3

La technique utilisée dans l'exemple précédent, faire disparaître une inconnue dans une équation, sera formalisée et généralisée dans la troisième partie de ce chapitre.

Terminologie

Dans cette sous-partie nous allons introduire un peu de vocabulaire afin de mieux décrire nos systèmes.

Définition

Un système linéaire est dit compatible s'il admet au moins une solution.

Tous les systèmes ne sont pas compatibles, comme on peut le voir sur l’exemple suivant.

Example 1.3. Un système non compatible

Le système suivant n'est pas compatible

{ 2 x 1 + 2 x 2 = 0 2 x 1 + 2 x 2 = 1

En effet, puisque les coefficients des deux lignes du système sont les mêmes, si une solution existait les seconds membres devraient également être égaux, ce qui n'est bien sûr pas le cas.


Certains systèmes bien particuliers n'ont en fait pas de seconds membres.

Définition

Un système linéaire est dit homogène si tous ses seconds membres sont nuls.

Un système homogène a donc cette allure

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , p x p = 0 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + + a 2 , p x p = 0 a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + + a n , p x p = 0
[Note]

Un système homogène est nécessairement compatible puisqu'il admettra le p-uplet ( 0 , 0 , ... , 0 ) comme solution.

Le p-uplet ( 0 , 0 , , 0 ) n'est d’ailleurs solution que des systèmes homogènes.

De façon similaire aux matrices on qualifiera certains systèmes de carrés.

Définition

Un système linéaire est dit carré s'il comporte autant d'équations que d'inconnues.

Les systèmes carrés les plus intéressants seront ceux n'admettant qu'une seule solution.

Définition

Un système linéaire carré est dit de Cramer s'il admet une unique solution.

Tous les systèmes linéaires carrés ne sont bien sûr pas de Cramer, comme le montre l’exemple suivant.

Example 1.4. Un système linéaire carré qui n'est pas de Cramer

Considérons le système

{ 2 x 1 + 2 x 2 = 2 2 x 1 + 2 x 2 = 2

Les deux équations étant identiques, ce système se résume à l'unique équation

2 x 1 + 2 x 2 = 2

Pour calculer ses solutions, il suffit de diviser cette équation par 2 et d'exprimer une inconnue en fonction de l'autre

x 1 = 1 - x 2

L'inconnue x 2 peut alors prendre n'importe quelle valeur réelle, on a donc une infinité de solutions, que l'on peut exprimer sous cette forme

{ ( 1 - x 2 , x 2 ) , x 2 }

[Note]

Le lecteur aura bien sûr reconnu en x 1 = 1 - x 2 l'équation d'une droite dans le plan. Ce qui justifie de nouveau le fait que le système possédait une infinité de solutions.

Dans la seconde partie de ce chapitre, nous reviendrons sur cette façon d'écrire les solutions d'un système en fonction d'une ou plusieurs inconnues.

Écriture matricielle d’un système

Le lecteur un tant soit peu éveillé n'aura pas manqué de remarquer que l'on peut construire une matrice avec les coefficients d'un système linéaire.

Définition

Soient n,p * . Pour 1 i n , 1 j p soient a i , j des nombres réels. Pour 1 i n soient b i des nombres réels.

Considérons le système linéaire de coefficients a i , j et de seconds membres b i

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , p x p = b 1 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + + a 2 , p x p = b 2 a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + + a n , p x p = b n

La matrice associée au système est la matrice

A = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , p a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , p a n , 1 a n , 2 a n , p )

Le vecteur des inconnues est le vecteur

X= ( x 1 x 2 x p )

Le vecteur des seconds membres est le vecteur

B= ( b 1 b 2 b n )

Le système linéaire peut alors se réécrire sous la forme A X = B , i.e.

( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , p a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , p a n , 1 a n , 2 a n , p ) ( x 1 x 2 x p ) = ( b 1 b 2 b n )
[Note]

Mettre ainsi un système linéaire sous la fome d'un produit de matrices donne encore plus de sens à la définition de ce produit, que l'on pouvait trouver peu naturelle au premier abord.

Illustrons tout cela avec un exemple.

Example 1.5. Ecriture matricielle d'un système

Considérons le système

{ 3 x 1 - 2 x 2 + 6 x 3 = 0 2 x 1 + 2 x 2 - 7 x 3 = 1

On peut écrire ce système sous la forme A X = B en posant

A = ( 3 - 2 6 2 2 - 7 ) , X = ( x 1 x 2 x 3 ) , B = ( 0 1 )

Le lien entre systèmes linéaires et matrices ne se résume pas à cette simple réécriture, comme nous allons le voir avec la propriété suivante.

Propriété

Un système linéaire carré est de Cramer si et seulement si sa matrice associée est inversible.

Dans ce cas, l’unique solution du système est donnée par

X = A - 1 B

Démonstration

Nous ne prouverons que la condition suffisante.

On considère donc un système linéaire carré dont la matrice associée est inversible. Nous allons partir de la réécriture du système sous la forme d'un produit de matrices, nous la multiplierons par l'inverse de la matrice associée au système et nous concluerons en utilisant quelques arguments qui doivent être maintenant familiers au lecteur.

Cela donne

A X = B A - 1 ( A X ) = A - 1 B ( A - 1 A ) X = A - 1 B I n X = A - 1 B X = A - 1 B

Résoudre un système linéaire carré ou inverser une matrice sont donc deux problèmes équivalents. On aura ainsi une première méthode pour inverser une matrice dès que l’on saura résoudre un système. Ce qui sera le cas à la fin de ce chapitre.

Systèmes échelonnés

On va s'intéresser dans cette partie à des systèmes dits échelonnés, dont la forme bien particulière les rend relativement simple à résoudre.

Définition

La définition suivante est assez technique, elle demandera donc au lecteur un minimum d'attention.

Définition

Soient n,p * . Pour 1 i n , 1 j p soient a i , j des nombres réels. Pour 1 i n soient b i des nombres réels.

Considérons le système linéaire de coefficients a i , j et de seconds membres b i

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , p x p = b 1 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + + a 2 , p x p = b 2 a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + + a n , p x p = b n

On dit qu'un tel système linéaire est échelonné s'il existe un entier r * vérifiant 1 r n et 1 r p , et une suite strictement croissante de r entiers 1 j 1 < j 2 < ... < j r p tels que

  1. Pour 1 i r , a i , j i 0 et a i , j = 0 pour 1 j < j i .

  2. Pour r < i n , a i , j = 0 pour 1 j p .

Les coefficients a i , j i pour 1 i r sont appelés des pivots.

Explicitons un peu certains éléments de cette définition.

La première assertion affirme que les pivots, i.e. les éléments a i , j i pour 1 i r , sont les premiers coefficients non nuls des r premières lignes. La suite des entiers j i étant strictement croissante, cela signifie concrètement que chacune des r premières lignes commence par davantage de zéros que la précédente.

Le second point implique que tous les coefficients des lignes après les r premières sont nuls.

Un système échelonné a donc cette allure

{ a 1 , j 1 x j 1 + + a 1 , p x p = b 1 a 2 , j 2 x j 2 + + a 2 , p x p = b 2 a r , j r x j r + + a r , p x p = b r 0 = b r + 1 0 = b n
[Note]

Le lecteur pourrait logiquement se demander d'où peuvent venir les équations de la forme b i = 0 . Il aura la réponse à cette question lors de la troisième partie.

Toutes les inconnues ne vont pas jouer le même rôle par la suite, nous allons en distinguer deux sortes.

Définition

Avec les notations de la définition précédente, les inconnues x j 1 , x j 2 , , x j r sont appelées inconnues principales.

Les autres inconnues sont appelées inconnues secondaires ou auxiliaires.

[Note]

Dans un système échelonné, les inconnues principales sont donc celles qui commencent une ligne.

Le lecteur comprendra mieux le sens de cette terminologie lors de la sous-partie suivante.

Deux petits exemples vont aider le lecteur à mieux appréhender cette définition qu'il a pu trouver un peu trop formelle en première lecture.

Example 1.6. Un système échelonné

Le système suivant est échelonné

{ 3 x 1 + x 2 + x 3 - 2 x 4 + x 5 = - 3 3 x 4 + x 5 + x 6 = 0 - x 5 + 7 x 6 = 9 2 x 6 = 1 0 = - 3

En posant r = 4 , j 1 = 1 , j 2 = 4 , j 3 = 5 , j 4 = 6 , on retrouve bien en en effet toutes les conditions de la définition.

Les inconnues principales sont ici x 1 , x 4 , x 5 , x 6 , et les inconnues secondaires x 2 , x 3 .


Example 1.7. Un système non échelonné

Le système suivant n'est pas échelonné

{ 3 x 1 + x 2 + x 3 - 2 x 4 + x 5 = - 3 3 x 4 + x 5 + x 6 = 0 7 x 6 = 9 2 x 6 = 1 0 = - 3

En effet, la quatrième ligne ne commence pas par davantage de zéros que la troisième. Si l'on cherchait à définir la suite j i de la définition, on poserait r = 4 , j 1 = 1 , j 2 = 4 , j 3 = 6 , j 4 = 6 , ce qui ne donnerait pas une suite strictement croissante.


Résolution théorique des systèmes échelonnés

On va présenter dans cette sous-partie les différents cas de figure que l'on rencontrera lors de la résolution d'un système échelonné.

On utilisera les notations de la définition de la sous-partie précédente.

Cas où r = n

Si r = n le système est de cette forme

{ a 1 , j 1 x j 1 + + a 1 , p x p = b 1 a 2 , j 2 x j 2 + + a 2 , p x p = b 2 a r , j r x j r + + a n , p x p = b n

Il n' y a pas en effet les lignes concernées par le second point de la définition, c'est-à-dire celles dont les coefficients sont nuls.

On doit ensuite distinguer de nouveaux deux cas, selon que le système soit carré ou non.

Sous-cas où n < p

On a alors plus d'inconnues que d'équations, et l'on doit exprimer les inconnues principales x j 1 , , x j n en fonction des inconnues secondaires x j n + 1 , , x p .

Ces dernières pouvant prendre n’importe quelles valeurs réelles, on a alors une infinité de solutions.

Sous-cas où n = p

Dans ce sous-cas, on a r = n et n = p donc nécessairement r = p . La suite ( j i ) 1 i r est alors une suite strictement croissante de r entiers compris entre 1 et r, ce qui implique que pour tout 1 i r on ait j i = i .

Le système est alors carré, et l'en reprenant un terme du premier chapitre il est même triangulaire supérieur

{ a 1 , 1 x 1 + = b 1 a 2 , 2 x 2 + = b 2 a n , n x n = b n

Il est facile de voir que ce système admet une unique solution, qui se détermine en commençant par la dernière équation et ensuite en remontant. On détermine ainsi la valeur des inconnues de proche en proche, d'abord x n puis x n - 1 , et ce jusqu'à x 1 .

Cas où r < n

Il s'agit du cas le plus général, rappelons que le système a alors cette forme

{ a 1 , j 1 x j 1 + + a 1 , p x p = b 1 a 2 , j 2 x j 2 + + a 2 , p x p = b 2 a r , j r x j r + + a r , p x p = b r 0 = b r + 1 0 = b n

Là aussi, deux sous-cas se présentent naturellement.

Sous-cas où le système est compatible

Si b r + 1 = b r + 2 = = b n = 0 , les dernières équations sont vérifiées et l'on peut donc les retirer. On est alors ramené au cas où r = n .

Sous-cas où le système n'est pas compatible

S'il existe i, r < i n , tel que b i 0 , la i-ème équation ne sera alors clairement pas vérifiée. Le système n'aura donc pas de solutions, puisque rappelons nous cherchons à résoudre toutes les équations simultanément.

Exemples de résolutions

Dans cette sous-partie, nous allons donner des exemples pour chacun des quatre cas de figure exposés précédemment.

Example 1.8. Cas où r = n et n < p

Considérons le système échelonné

{ x 1 + x 2 + x 5 = 1 x 2 + x 3 + x 4 - x 5 = 3 x 4 + x 5 = 6

Nous avons ici n = 3 , p = 5 , et r = 3 .

Nous allons donc exprimer les inconnues principales x 1 , x 2 , x 4 en fonction des inconnues secondaires x 3 , x 5 , en commençant par x 4 puis en remontant.

Il vient d'abord

x 4 = 6 - x 5

En reportant cette valeur dans la seconde équation, l'on obtient

x 2 = - 3 - x 3 + 2 x 5

Et enfin, grâce à la première équation

x 1 = 10 + 3 x 3 - 7 x 5

Nous avons alors comme ensemble de solutions

{ ( 10 + 3 x 3 - 7 x 5 , - 3 - x 3 + 2 x 5 , x 3 , 6 - x 5 , x 5 ) , x 3 , x 5 }

Ce système possède donc une infinité de solutions.


Example 1.9. Cas où r = n et n = p

Considérons le système échelonné

{ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 2 + x 3 - 3 x 4 = - 3 x 3 - x 4 = - 1 x 4 = 2

Nous avons ici n = 4 , p = 4 , et r = 4 .

Ce système a une unique solution, que l'on détermine bien sûr en commençant par x 4 , dont on connaît déjà la valeur, puis en remontant.

On trouve ainsi successivement x 3 = 1 , puis x 2 = 2 , et enfin x 1 = - 4 .

Notre ensemble de solutions est donc

{ ( - 4 , 2 , 1 , 2 ) }

Example 1.10. Cas où r < n et où le système est compatible

Considérons le système échelonné

{ x 1 + x 2 + x 5 = 1 x 2 + x 3 + x 4 - x 5 = 3 x 4 + x 5 = 6 0 = 0

La dernière équation est évidemment vérifiée, on peut donc la retirer du système sans perte d'informations. On retrouve alors le système du premier exemple de cette sous-partie.


Example 1.11. Cas où r < n et où le système n'est pas compatible

Considérons le système échelonné

{ x 1 + x 2 + x 5 = 1 x 2 + x 3 + x 4 - x 5 = 3 x 4 + x 5 = 6 0 = 1

La dernière équation n'est clairement pas vérifiée, ce système n'a donc pas de solutions.


Méthode du pivot de Gauss

L'enjeu de cette partie va être d'apprendre à transformer par une suite d'opérations élémentaires un système quelconque en un système échelonné. Comme nous savons résoudre ces derniers, nous saurons alors résoudre n'importe quel système.

Principe de la méthode

La méthode suivante est due à Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

On considère un système sous sa forme générale

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , p x p = b 1 ( L 1 ) a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + + a 2 , p x p = b 2 ( L 2 ) a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + + a n , p x p = b n ( L n )

On va supposer que a 1 , 1 0 , ce que l'on peut toujours obtenir en permutant deux lignes du système. En effet, les coefficients concernant l'inconnue x 1 ne peuvent pas être tous nuls sinon cette inconnue ne ferait pas partie du système.

Ensuite, pour tout i 2 on va effectuer l'opération élémentaire

L i L i - a i , 1 a 1 , 1 L 1

Ceci aura pour effet de supprimer l'inconnue x 1 dans toutes les lignes L i pour i 2 .

Le système a donc maintenant cette forme

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , p x p = b 1 ( L 1 ) a 2 , 2 x 2 + + a 2 , p x p = b 2 ( L 2 ) a n , 2 x 2 + + a n , p x p = b n ( L n )

S'il existe i 2 tel que a i , 2 0 on permute la ligne L i avec L 2 . Ensuite, selon le même principe que précédemment, on va se servir de la ligne L 2 pour éliminer l'inconnue x 2 dans toutes les lignes L i pour i 3 .

Si pour tout i 2 on a a i , 2 = 0 , on passe à l'inconnue x 3 .

On continue ainsi jusqu’à obtenir un système échelonné qui sera équivalent au système initial.

Exemples

Nous allons consacrer cette sous-partie à des exemples d'applications de la méthode du pivot de Gauss.

Example 1.12. Première application de la méthode du pivot de Gauss

Considérons le système

{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 2 ( L 1 ) x 1 + 3 x 2 - 2 x 3 = - 1 ( L 2 ) 3 x 1 + 5 x 2 + 8 x 3 = 8 ( L 3 )

Le coefficient a 1 , 1 est bien non nul, on va donc pouvoir utiliser la première ligne pour supprimer l'inconnue x 1 dans les deuxième et troisième ligne. Pour faire cela on va effectuer les opérations élémentaires

L 2 L 2 - L 1 et L 3 L 3 - 3 L 1

Le système devient alors

{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 2 ( L 1 ) x 2 - 4 x 3 = - 3 ( L 2 ) - x 2 + 2 x 3 = 2 ( L 3 )

On supprime ensuite l'inconnue x 2 dans la troisième ligne en effectuant l'opération élémentaire

L 3 L 3 + L 2

Il vient

{ x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 2 ( L 1 ) x 2 - 4 x 3 = - 3 ( L 2 ) - 2 x 3 = - 1 ( L 3 )

Le système est alors échelonné, l'application de la méthode de Gauss est donc terminée.


Example 1.13. Deuxième application de la méthode du pivot de Gauss

Considérons le système

{ 2 x 1 + 2 x 2 - x 3 - x 4 = - 1 ( L 1 ) x 1 + x 2 - 2 x 3 - 2 x 4 = - 4 ( L 2 ) x 1 + x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 = 10 ( L 3 )

On commence par permuter les deux premières lignes afin d'avoir un coefficient plus maniable devant l'inconnue x 1 . On réalise pour cela l'opération élémentaire L 1 L 2 . On obtient

{ x 1 + x 2 - 2 x 3 - 2 x 4 = - 4 ( L 2 ) 2 x 1 + 2 x 2 - x 3 - x 4 = - 1 ( L 1 ) x 1 + x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 = 10 ( L 3 )

Le coefficient a 1 , 1 est bien non nul, on va donc pouvoir utiliser la première ligne pour supprimer l'inconnue x 1 dans les deuxième et troisième ligne. Pour faire cela on va effectuer les opérations élémentaires

L 2 L 2 - 2 L 1 et L 3 L 3 - L 1

Le système devient alors

{ x 1 + x 2 - 2 x 3 - 2 x 4 = - 4 ( L 2 ) 3 x 3 + 3 x 4 = 7 ( L 1 ) 6 x 3 + 6 x 4 = 14 ( L 3 )

L'inconnue x 2 ne figure ni dans la deuxième ni dans la troisième équation, l'on passe donc à l'inconnue x 3 . On la supprime de la troisième équation avec l'opération élémentaire

L 3 L 3 - 2 L 2

Cela va avoir pour conséquence collatérale de supprimer aussi l'inconnue x 4 dans la troisième équation. On a en effet

{ x 1 + x 2 - 2 x 3 - 2 x 4 = - 4 ( L 2 ) 3 x 3 + 3 x 4 = 7 ( L 1 ) 0 = 0 ( L 3 )

Le système est alors échelonné, l'application de la méthode de Gauss est donc terminée.


[Note]

Sans réaliser la permutation L 1 L 2 dans cet exemple, voici les opérations élémentaires que l'on aurait eu à effectuer pour supprimer l'inconnue dans les deux dernières équations

L 2 L 2 - 1 2 L 1 et L 3 L 3 - 1 2 L 1

Nous aurions donc introduit des fractions et aurions eu des calculs plus délicats.

Example 1.14. Troisième application de la méthode du pivot de Gauss

Considérons le système

{ x 1 + x 2 - 2 x 3 - 2 x 4 = - 4 ( L 2 ) 2 x 1 + 2 x 2 - x 3 - x 4 = - 1 ( L 1 ) x 1 + x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 = 11 ( L 3 )

Le coefficient a 1 , 1 est bien non nul, on va donc pouvoir utiliser la première ligne pour supprimer l'inconnue x 1 dans les deuxième et troisième ligne. Pour faire cela on va effectuer les opérations élémentaires

L 2 L 2 - 2 L 1 et L 3 L 3 - L 1

Le système devient alors

{ x 1 + x 2 - 2 x 3 - 2 x 4 = - 4 ( L 2 ) 3 x 3 + 3 x 4 = 7 ( L 1 ) 6 x 3 + 6 x 4 = 15 ( L 3 )

L'inconnue x 2 ne figure ni dans la deuxième ni dans la troisième équation, l'on passe donc à l'inconnue x 3 . On la supprime de la troisième équation avec l'opération élémentaire

L 3 L 3 - 2 L 2

Cela va avoir pour conséquence collatérale de supprimer aussi l'inconnue x 4 dans la troisième équation. On a en effet

{ x 1 + x 2 - 2 x 3 - 2 x 4 = - 4 ( L 2 ) 3 x 3 + 3 x 4 = 7 ( L 1 ) 0 = 1 ( L 3 )

Le système est alors échelonné, l'application de la méthode de Gauss est donc terminée.


[Note]

Le lecteur comprend sans doute mieux maintenant comment des équations de la forme b i = 0 (avec les notations des parties précédentes) peuvent apparaître.

Nous allons conclure ce chapitre en proposant au lecteur de terminer la résolution des trois systèmes précédents. Ils sont sous forme échelonnés, il faut donc appliquer les méthodes présentées dans la seconde partie.

Exercice corrigé

1.1.

1. Résoudre le système échelonné obtenu à la fin du premier exemple de cette sous-partie.

Ce système admet une unique solution

{ ( 3 , - 1 , 1 2 ) }

1.1.

2. Résoudre le système échelonné obtenu à la fin du deuxième exemple de cette sous-partie.

Ce système admet une infinité de solutions, on exprime les inconnues principales x 1 et x 3 en fonction des inconnues secondaires x 2 et x 4

{ ( - 38 3 - x 2 , x 2 , 7 3 - x 4 , x 4 ) , x 2 , x 4 }

1.1.

3. Résoudre le système échelonné obtenu à la fin du troisième exemple de cette sous-partie.

Ce système n'admet pas de solutions.

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