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Articles - Étudiants SUPINFO

Chapitre 03 - Déterminant et formules de Cramer

Dans ce chapitre nous ne considèrerons que des matrices carrées. Nous commencerons par associer à une matrice un réel appelé son déterminant. Nous utiliserons ensuite celui-ci pour déterminer si une matrice est inversible puis pour résoudre certains systèmes linéaires.

[Note]

Dans toute la suite, nous continuerons à noter ( a i , j ) 1 i n , 1 j n les coefficients d'une matrice A M n ( ) .

Déterminant d’une matrice

Nous allons dans cette partie définir de façon numérique le déterminant d'une matrice, puis en donner quelques propriétés.

Définition

Commençons par le cas des matrices d'ordre 2, puis nous traiterons celui des matrices de tout ordre.

Définition

Soit A M 2 ( ) .

On définit le déterminant de la matrice A, que l'on note det ( A ) , comme étant la quantité

det ( A ) = a 1 , 1 a 2 , 2 - a 1 , 2 a 2 , 1

On utilise également les notations

det ( A ) = | A | = | a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 |
[Note]

Ne pas confondre les notations ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 ) et | a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 | .

La première désigne une matrice et la seconde le déterminant de cette matrice.

Il s'agit donc d'un calcul élémentaire que l'on effectue sur les coefficients d'une matrice. Explicitons-le sur un exemple.

Example 1.1. Calcul d'un déterminant d'ordre 2

Considérons la matrice

A= ( 2 1 - 4 3 )

Son déterminant est égal à

det ( A ) = | 2 1 - 4 3 | = 2 × 3 - 1 × ( - 4 ) = 10

Nous pouvons maintenant définir le déterminant pour des matrices carrées de tout ordre en procédant par récurrence, le cas de base étant celui des matrices d'ordre 2.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

Fixons j tel que 1 j n .

On définit le déterminant de la matrice A, que l'on note det ( A ) , comme étant la quantité

det ( A ) = i = 1 n ( - 1 ) i + j a i , j Δ i , j

Δ i , j est le déterminant de la matrice d'ordre n - 1 obtenue à partir de A en supprimant sa i-ème ligne et sa j-ème colonne.

La valeur Δ i , j est par ailleurs appelée mineur de a i , j .

Cette égalité est appelée développement du déterminant par rapport à la j-ème colonne de la matrice A.

[Note]

C’est bien une définition par récurrence, pour calculer le déterminant d’une matrice d’ordre n, est on est amené à calculer n déterminants de matrices d’ordre n - 1 . Et ainsi de suite jusqu’à obtenir des matrices d’ordre 2 dont on sait calculer directement le déterminant.

Il faut bien comprendre que dans l'égalité de cette définition, la colonne j est fixée, et que l'on parcourt tous les coefficients de celle-ci. Le lecteur pourrait donc penser que la valeur définissant le déterminant dépend de cette colonne j. Il n'en est rien, comme l'atteste le résultat suivant.

Théorème

Soient n * , et A M n ( ) .

Soit j tel que 1 j n .

La quantité

i = 1 n ( - 1 ) i + j a i , j Δ i , j

est indépendante de j.

Pour définir le déterminant d'une matrice, nous avons donc considéré les colonnes de celle-ci. Un point de vue équivalent est de se baser sur ses lignes.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

Fixons i tel que 1 i n .

On peut également définir le déterminant de la matrice A comme étant la quantité

det ( A ) = j = 1 n ( - 1 ) i + j a i , j Δ i , j

Cette égalité est appelée développement du déterminant par rapport à la i-ème ligne de la matrice A.

Là aussi, fort heureusement d'ailleurs, le résultat ne dépend pas de la ligne choisie.

Théorème

Soient n * , et A M n ( ) .

Soit i tel que 1 i n .

La quantité

j = 1 n ( - 1 ) i + j a i , j Δ i , j

est indépendante de i.

Explicitons maintenant cette formule dans le cas particulier des matrices d'ordre 3.

Example 1.2. Calcul du déterminant des matrices d'ordre 3

Considérons une matrice d'ordre 3 sous sa forme générale

A = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 )

Développons son déterminant par exemple par rapport à la première colonne

det ( A ) = ( - 1 ) 1 + 1 a 1 , 1 Δ 1 , 1 + ( - 1 ) 2 + 1 a 2 , 1 Δ 2 , 1 + ( - 1 ) 3 + 1 a 3 , 1 Δ 3 , 1

Par définition Δ 1 , 1 est le déterminant de la matrice d'ordre 2 obtenue à partir de A en supprimant sa première ligne et sa première colonne, ici représentées en rouge

( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 )

On a donc

Δ 1 , 1 = | a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 2 a 3 , 3 |

On calcule de même Δ 2 , 1 et Δ 3 , 1 .

On obtient alors

det ( A ) = ( - 1 ) 1 + 1 a 1 , 1 | a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 2 a 3 , 3 | + ( - 1 ) 2 + 1 a 2 , 1 | a 1 , 2 a 1 , 3 a 3 , 2 a 3 , 3 | + ( - 1 ) 3 + 1 a 3 , 1 | a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 2 a 2 , 3 |

D'où finalement

det ( A ) = a 1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 - a 1 , 1 a 2 , 3 a 3 , 2 - a 2 , 1 a 1 , 2 a 3 , 3 + a 2 , 1 a 1 , 3 a 3 , 2 + a 3 , 1 a 1 , 2 a 2 , 3 - a 3 , 1 a 1 , 3 a 2 , 2

[Note]

La formule obtenue lors de l'exemple précédent n'est bien sûr pas à connaître par coeur, il faut juste savoir la retrouver lors d'applications numériques.

Exemple numérique

Cette sous-partie va être consacrée à un exemple numérique de calcul de déterminant.

Example 1.3. Calcul du déterminant d'une matrice d'ordre 4

Considérons la matrice

A = ( 1 2 1 3 2 0 0 1 6 2 3 6 3 0 0 2 )

Nous allons par exemple développer le déterminant de A par rapport à sa quatrième ligne. Deux des coefficients de celle-ci sont nuls, on a donc

det ( A ) = | 1 2 1 3 2 0 0 1 6 2 3 6 3 0 0 2 | = ( - 1 ) 4 + 1 × 3 × | 2 1 3 0 0 1 2 3 6 | + ( - 1 ) 4 + 4 × 2 × | 1 2 1 2 0 0 6 2 3 |

Nous avons alors deux déterminants de matrices d'ordre 3 à calculer. Nous allons développer chacun d'eux par rapport à leur seconde ligne. Il vient

| 2 1 3 0 0 1 2 3 6 | = ( - 1 ) 2 + 3 × 1 × | 2 1 2 3 | = - 1 × ( 2 × 3 - 2 × 1 ) = - 4

Et

| 1 2 1 2 0 0 6 2 3 | = ( - 1 ) 2 + 1 × 2 × | 2 1 2 3 | = - 1 × 2 × ( 2 × 3 - 2 × 1 ) = - 8

Finalement, on obtient

det ( A ) = - 3 × ( - 4 ) + 2 × ( - 8 ) = - 4

[Note]

On a pu constater sur cet exemple qu’il est beaucoup plus simple et rapide de développer un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne contenant un maximum de 0.

Les calculs auraient en effet été bien plus longs si l'on avait choisi de développer par rapport à la première ligne ou première colonne.

Nous laissons maintenant le lecteur s'exercer en lui proposant de refaire ce calcul par rapport à une colonne cette fois.

Exercice corrigé

1.1.

Considérons la matrice

A = ( 1 2 1 3 2 0 0 1 6 2 3 6 3 0 0 2 )

Calculer le déterminant de A en développant par rapport à la troisième colonne.

Il faut bien sûr trouver de nouveau -4.

Propriétés

Dans cette sous-partie nous allons présenter les propriétés classiques vérifiées par le déterminant. Leurs preuves étant assez calculatoires, nous les laisserons le plus souvent au bon vouloir du lecteur.

Propriétés

Soient n * , et A,B M n ( ) .

On a

  • det ( A B ) = det ( A ) × det ( B ) .

  • det ( A t ) = det ( A ) .

D'après la propriété précédente, le déterminant d'un produit est donc le produit des déterminants des facteurs de celui-ci. Il n'en est pas de même pour une somme.

Propriété

Soient n * , et A,B M n ( ) .

En général, on a det ( A + B ) det ( A ) + det ( B ) .

Les matrices triangulaires, supérieures ou inférieures, vont avoir un déterminant relativement simple à calculer. C'est ce que stipule la prochaine propriété.

Propriété

Soient n * , et A M n ( ) une matrice triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure.

On a

det ( A ) = i = 1 n a i , i
[Note]

Autrement dit, le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure est égal au produit de ses termes diagonaux.

[Note]

Ce résultat ce démontre très bien en développant par rapport à la première colonne. On n’a alors qu’un seul calcul de mineur à effectuer, et c’est celui d’une matrice qui est aussi triangulaire. On n’a plus qu’à recommencer jusqu’à obtenir une matrice d’ordre 2.

Même si ce résultat est simple, illustrons-le par un exemple.

Example 1.4. Calcul du déterminant d'une matrice triangulaire supérieure d'ordre 4

Considérons la matrice

A = ( 1 - 6 2 4 0 5 - 3 0 0 0 - 2 6 0 0 0 4 )

D'après la propriété précédente, son déterminant vaut

det ( A ) = | 1 - 6 2 4 0 5 - 3 0 0 0 - 2 6 0 0 0 4 | = 1 × 5 × ( - 2 ) × 4 = - 40

Pour terminer cette partie, étudions l'action sur le déterminant d'une matrice de combinaisons linéaires effectuées sur ses lignes et colonnes.

Propriété

Voici comment est modifié le déterminant d'une matrice suite à l'action d'opérations linéaires sur ses lignes et colonnes :

  • Si l'on multiplie une ligne ou une colonne d'une matrice par un réel λ, la valeur du déterminant est également multipliée par λ.

  • Si l'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes on ne change pas la valeur du déterminant.

  • Si l'on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes on ne change pas la valeur du déterminant.

Illustrons de suite la première assertion de cette propriété.

Example 1.5. Multiplication d'une colonne par un réel

On a

| 1 - 2 3 5 1 - 6 2 8 9 | = | 1 - 2 3 × 1 5 1 3 × ( - 2 ) 2 8 3 × 3 | = 3 × | 1 - 2 3 5 1 0 2 8 5 |

Grâce au résultat précédent, avant de calculer un déterminant on va chercher à faire "apparaître" des zéros sur une ligne ou une colonne de la matrice que l'on considère. Comme nous l'avons déjà remarqué dans la sous-partie 1.2, le calcul du déterminant n'en sera alors que plus simple et plus rapide.

Voyons cela sur un exemple.

Example 1.6. Combinaisons linéaires sur les lignes d'une matrice

Considérons la matrice

A = ( 1 2 3 2 2 3 3 4 5 )

Effectuons le remplacement

L 2 L 2 - L 1

Le déterminant n'est pas modifié, on a donc

det ( A ) = | 1 2 3 1 0 0 3 4 5 |

Il ne reste plus qu’à développer ce déterminant par rapport à la deuxième ligne

det ( A ) = - 1 × | 2 3 4 5 | = 2

[Note]

Nous aurions pu tout aussi efficacement réaliser l'opération

C 3 C 3 - C 2

Inversion d’une matrice

Le but de cette partie va être de donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice soit inversible, ainsi qu'une formule pour calculer cet inverse le cas échéant. Ce critère va être basé sur la valeur du déterminant.

Définitions

Commençons par quelques définitions.

Définitions

Soient n * , et A M n ( ) .

Soit i , j tel que 1 i n et 1 j n .

On appelle cofacteur du coefficient a i , j de la matrice A la quantité A i , j définie par

A i , j = ( - 1 ) i + j Δ i , j

On appelle comatrice de A, notée com ( A ) , la matrice de coefficient A i , j .

[Note]

La comatrice d’une matrice d’ordre n est donc aussi une matrice d’ordre n.

Explicitons maintenant cette définition dans le cas particulier des matrices d'ordre 3.

Example 1.7. Calcul de la comatrice des matrices d'ordre 3

Considérons une matrice d'ordre 3 sous sa forme générale

A = ( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 )

On calcule les différents mineurs comme nous l'avons vu dans la première partie. Par exemple, pour calculer Δ 2 , 3 on considère le déterminant de la matrice d'ordre 2 obtenue à partir de A en supprimant sa deuxième ligne et sa troisième colonne, ici représentées en rouge

( a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 )

Ainsi,

Δ 2 , 3 = | a 1 , 1 a 1 , 2 a 3 , 1 a 3 , 2 |

On procède de même pour tous les mineurs.

Finalement, il vient

com ( A ) = ( + | a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 2 a 3 , 3 | - | a 2 , 1 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 3 | + | a 2 , 1 a 2 , 2 a 3 , 1 a 3 , 2 | - | a 1 , 2 a 1 , 3 a 3 , 2 a 3 , 3 | + | a 1 , 1 a 1 , 3 a 3 , 1 a 3 , 3 | - | a 1 , 1 a 1 , 2 a 3 , 1 a 3 , 2 | + | a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 2 a 2 , 3 | - | a 1 , 1 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 3 | + | a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 | )

[Note]

La formule obtenue lors de l'exemple précédent n'est bien sûr pas à connaître par coeur, il faut juste savoir la retrouver lors d'applications numériques.

Formule de l’inverse

La valeur de son déterminant va nous indiquer si une matrice est inversible. L'inverse, s'il existe, s'exprimera alors en fonction de la comatrice.

Théorème

Soient n * , et A M n ( ) .

La matrice A est inversible si et seulement si det ( A ) est différent de zéro.

Dans ce cas,

A - 1 = 1 det ( A ) com ( A ) t

Exemple numérique

Cette sous-partie va être consacrée à un exemple numérique de calcul d'un inverse.

Example 1.8. Calcul de l'inverse d'une matrice d'ordre 3

Considérons la matrice

A = ( 1 1 0 0 2 1 1 0 0 )

Montrons tout d'abord que A est inversible en calculant son déterminant. Pour cela, développons le par rapport à la troisième ligne

det ( A ) = | 1 1 0 0 2 1 1 0 0 | = ( - 1 ) 3 + 1 × 1 × | 1 0 2 1 | = 1 × ( 1 × 1 - 2 × 0 ) = 1

Le déterminant de A est non nul, A est donc inversible. Pour obtenir son inverse, il suffit alors de calculer sa comatrice

com ( A ) = ( + | 2 1 0 0 | - | 0 1 1 0 | + | 0 2 1 0: | - | 1 0 0 0 | + | 1 0 1 0 | - | 1 1 1 0 | + | 1 0 2 1 | - | 1 0 0 1 | + | 1 1 0 2 | ) = ( 0 1 - 2 0 0 1 1 - 1 2 )

Il faut ensuite calculer la transposée de la comatrice. Rappelons que cela revient à intervertir les lignes et les colonnes de celle-ci. Il vient

com ( A ) t = ( 0 0 1 1 0 - 1 - 2 1 2 )

L'application de la formule de calcul de l'inverse donne finalement

A - 1 = ( 0 0 1 1 0 - 1 - 2 1 2 )

Nous allons maintenant proposer au lecteur un petit exercice où il devra inverser lui-même une matrice.

Exercice corrigé

1.1.

Considérons la matrice

A = ( 1 2 3 2 2 3 3 4 5 )

La matrice A est-elle inversible ? Si oui calculer son inverse.

On a det ( A ) = 2 donc A est inversible. L'application de la formule précédente donne alors

A - 1 = ( - 1 1 0 - 1 2 - 2 3 2 1 1 - 1 )

Formules de Cramer

Nous allons dans cette partie utiliser la notion de déterminant afin de résoudre certains systèmes linéaires carrés.

Formules de Cramer

Les formules suivantes sont dues au mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752).

Théorème

Soient n * . Pour 1 i n , 1 j n soient a i , j des nombres réels. Pour 1 i n soient b i des nombres réels.

Considérons le système linéaire carré de coefficients a i , j et de seconds membres b i

{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + + a 1 , n x n = b 1 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + + a 2 , n x n = b 2 a n , 1 x 1 + a n , 2 x 2 + + a n , n x n = b n

Ce système est de Cramer, i.e. admet une unique solution, si et seulement si le déterminant de la matrice associée est non nul.

Dans ce cas, cette unique solution est donnée par les formules suivantes : pour tout 1 i n

x i = | a 1 , 1 b 1 a 1 , n a 2 , 1 b 2 a 2 , n a n , 1 b n a n , n | | a 1 , 1 a 1 , i a 1 , n a 2 , 1 a 2 , i a 2 , n a n , 1 a n , i a n , n |
[Note]

Ces formules sont élégantes, mais en pratique les calculs peuvent être longs. Il ne s'agit donc pas d'une alternative systématique à la méthode du pivot de Gauss.

Pour calculer la valeur de l'inconnue x i on remplace donc lors du calcul du déterminant au numérateur la i-ème colonne de la matrice associée au système par le vecteur des seconds membres. Le dénominateur étant lui le déterminant de la matrice associée au système.

Exemple numérique

Nous allons conscrer cette sous-partie à un exemple numérique de résolution d'un système avec les formules de Cramer.

Example 1.9. Résolution d'un système avec les formules de Cramer

Considérons le système

{ x 1 + 4 x 2 - 7 x 3 = 2 2 x 1 + 5 x 2 + 8 x 3 = - 12 6 x 1 + 3 x 2 + 9 x 3 = 3

On commence par calculer le déterminant de la matrice associée au système. On trouve, en épargnant au lecteur le détail des calculs, que

| 1 4 - 7 2 5 8 6 3 9 | = 309

Ce déterminant est non nul, le système est donc de Cramer.

La valeur de ce déterminant se retrouvera au dénominateur de chacune des fractions exprimant la valeur des inconnues.

Pour déterminer x 1 on doit remplacer la première colonne de la matrice du système par le vecteur des seconds membres, puis en calculer le déterminant. Il vient

x 1 = | 2 4 - 7 - 12 5 8 3 3 9 | | 1 4 - 7 2 5 8 6 3 9 | = 927 309 = 3

On procède de même pour x 2 en remplaçant cette fois la deuxième colonne de la matrice du système par le vecteur des seconds membres

x 2 = | 1 2 - 7 2 - 12 8 6 3 9 | | 1 4 - 7 2 5 8 6 3 9 | = - 618 309 = - 2

Et finalement même chose pour x 3 en en remplaçant la troisième colonne de la matrice du système par le vecteur des seconds membres

x 3 = | 1 4 2 2 5 - 12 6 3 3 | | 1 4 - 7 2 5 8 6 3 9 | = - 309 309 = - 1

Terminons ce chapitre avec un petit exercice où le lecteur devra appliquer les formules de Cramer.

Exercice corrigé

1.1.

Considérons le système

{ x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 1 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = - 2 3 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 = 3

Ce système est de Cramer car le déterminant de sa matrice associée est égal à 2. On trouve alors

x 1 = - 6 2 = - 3 x 2 = 16 2 = 8 x 3 = - 8 2 = - 4
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