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Articles - Étudiants SUPINFO

Chapitre 04 - Diagonalisation des matrices carrées

Le but de ce chapitre est d'apprendre à transformer une matrice carrée quelconque en une matrice carrée diagonale ayant sensiblement les mêmes propriétés. Pour cela, nous définirons dans un premier temps les notions de valeurs propres et vecteurs propres, puis nous verrons que cette transformation n'est en fait pas toujours possible et nous concluerons en donnant des conditions pour qu'elle le soit.

Éléments propres

Dans cette première partie, nous allons associer à une matrice des éléments bien particuliers, ses valeurs propres et vecteurs propres.

Définitions

Commençons par la définition des éléments propres d'une matrice.

Définitions

Soient n * , et A M n ( ) .

Un réel λ est appelé valeur propre de A s'il existe un vecteur (i.e. une matrice colonne) X M n , 1 ( ) non nul tel que A X = λ X .

Un tel vecteur X est alors appelé vecteur propre de A.

L’ensemble des valeurs propres de A s’appelle le spectre de A et est noté Spec ( A ) .

[Note]

Le terme spectre est sans doute connu par quiconque ayant un peu étudié les sciences physiques. On parle par exemple de spectre de la lumière. Le lecteur curieux pourra trouver ici de très bonnes explications sur le lien entre le spectre d'une matrice et celui des physiciens.

Cette définition pouvant paraître assez abstraite au premier abord, éclaircissons là avec un exemple.

Example 1.1. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice

Considérons la matrice

A = ( 3 1 1 1 3 1 1 1 3 )

Un simple calcul montre que

( 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ) ( 1 1 1 ) = ( 5 5 5 )

Cette dernière égalité peut se réécrire comme

( 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ) ( 1 1 1 ) = 5 ( 1 1 1 )

On est bien en présence d'une relation de la forme A X = λ X .

Cela signifie que ( 1 1 1 ) est un vecteur propre de la matrice ( 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ) associé à la valeur propre 5.

On a de même

( 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ) ( 1 - 1 0 ) = 2 ( 1 - 1 0 )

Cela signifie que ( 1 - 1 0 ) est un vecteur propre de la matrice ( 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ) associé à la valeur propre 2.


Comme nous le verrons rapidement, il y a plusieurs (et même une infinité) de vecteurs propres associés à une valeur propre. Cette remarque conduit à la définition suivante.

Définition

Soient n * , A M n ( ) , et λ une valeur propre de A.

On appelle sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ l'ensemble noté E λ ( A ) défini par

E λ ( A ) = { X M n , 1 ( ) , A X = λ X }

Il s'agit donc de l'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre λ.

L'un des enjeux de la suite de ce chapitre sera d'apprendre à exprimer les sous-espaces propres d'une matrice. Mais dans un premier temps, penchons nous sur le calcul des valeurs propres.

Polynôme caractéristique

On va associer à toute matrice carrée un polynôme dit caractéristique. C'est lui qui nous permettra de déterminer les valeurs propres.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

On appelle polynôme caractéristique de la matrice A le polynôme noté P A ( λ ) défini par

P A ( λ ) = det ( A - λ I n )

On a donc

P A ( λ ) = | a 1 , 1 - λ a 1 , 2 a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 - λ a 2 , n a n , 1 a n , 2 a n , n - λ |
[Note]

Rappelons que I n désigne la matrice identité, et que son expression est

I n = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )

Il est relativement facile de déterminer le degré du polynome caractéristique d'une matrice.

Propriété

Le degré du polynôme caractéristique d’une matrice carrée d’ordre n est égal à n.

Le théorème suivant est fondamental, il relie valeurs propres et polynôme caractéristique.

Théorème

Les valeurs propres d'une matrice carrée sont exactement les racines de son polynôme caractéristique.

[Note]

Rappelons que les racines d'un polynôme sont les réels annulant ce polynôme.

En plus des racines du polynôme caractéristique, on s'intéressera à leurs multiplicités.

Définition

On appelle multiplicité d’une valeur propre sa multiplicité en tant que racine dans la factorisation du polynôme caractéristique.

[Note]

Rappelons que si α est une racine d'un polynôme P, on peut factoriser P par λ - α . La multiplicité de la racine α est alors le plus grand entier m tel que P soit divisible par ( λ - α ) m .

Illustrons cette notion de multiplicité d'une valeur propre.

Example 1.2. Multiplicités des valeurs propres

Imaginons que le polynôme caractéristique d'une matrice A ait pour forme factorisée

P A ( λ ) = - ( λ + 5 ) 3 ( λ - 3 ) 2 ( λ + 1 )

La matrice A possède alors trois valeurs propres : -5 de multiplicité 3, 3 de multiplicité 2, et -1 de multiplicité 1.


Pour finir cette sous-partie, nous allons faire quelques rappels sur la recherche des racines des polynômes de degré 2 et 3. Ceci dit, le lecteur devrait déjà connaître la plupart de ces résultats.

Racines d'un polynôme de degré 2

Soit P un polynôme de degré 2 d'expression

P ( λ ) = a λ 2 + b λ + c

Pour déterminer les racines de P on doit calculer son discriminant Δ

Δ = b 2 - 4 a c

Il y a alors trois cas de figure :

  • Si Δ < 0 le polynôme P n'a pas de racines.

  • Si Δ = 0 le polynôme P possède une unique racine de multiplicité 2 dont la valeur est

    λ 0 = - b 2 a
  • Si Δ > 0 le polynôme P possède deux racines, chacune de multiplicité 1, dont les valeurs sont

    λ 1 = - b - Δ 2 a et λ 2 = - b + Δ 2 a

Il existe des formules permettant de calculer les racines d'un polynôme de degré 3, mais nous ne les présenterons pas dans ce cours car elles sont un peu techniques. Ces formules sont dues à Niccolò Fontana dit Tartaglia (1499-1557) même si elles sont attribuées à Jérôme Cardan (1501-1576).

Les seuls polynômes de degré 3 que nous traiterons seront ceux possédant des racines dites évidentes, i.e. des racines égales à 0, 1, -1, 2 ou -2. Une fois trouvée l'une de ces racines, par simples essais, on la factorise dans le polynôme. On est alors ramené au cas d’un polynôme de degré 2 dont on sait calculer les racines.

Donnons un exemple de cette méthode de recherche de racines.

Example 1.3. Racines d'un polynôme de degré 3

Considérons le polynôme

P ( λ ) = - λ 3 - 2 λ 2 + 11 λ + 12

On vérifie facilement que 0 et 1 ne sont pas des racines évidentes mais que -1 l'est. On peut donc factoriser P par λ + 1 . Le facteur restant sera alors un polynôme de degré 2, i.e. un polynôme de la forme a λ 2 + b λ + c , qu'il faut maintenant expliciter.

On a ainsi

P ( λ ) = - λ 3 - 2 λ 2 + 11 λ + 12 = ( λ + 1 ) ( a λ 2 + b λ + c )

En développant le dernier membre de cette égalité, puis en regroupant les termes de mêmes degrés il vient

P ( λ ) = - λ 3 - 2 λ 2 + 11 λ + 12 = a λ 3 + ( a + b ) λ 2 + ( b + c ) λ + c

En identifiant les coefficients des termes de même degré dans les deux écritures de P on obtient

{ a = - 1 a + b = - 2 b + c = 11 c = 12

D'où

{ a = - 1 b = - 1 c = 12

On a alors

P ( λ ) = ( λ + 1 ) ( - λ 2 - λ + 12 )

Il reste maintenant à trouver les racines du polynôme de degré 2

Q ( λ ) = - λ 2 - λ + 12

Calculons son discriminant

Δ = ( - 1 ) 2 - 4 × ( - 1 ) × 12 = 49

Ses racines sont alors

λ 1 = - ( - 1 ) - 49 2 × ( - 1 ) = 3 et λ 2 = - ( - 1 ) + 49 2 × ( - 1 ) = - 4

Finalement, on obtient

P ( λ ) = - ( λ + 1 ) ( λ - 3 ) ( λ + 4 )

Les trois racines étant donc ici de multiplicité égale à 1.


Exemple numérique

Cette sous-partie sera consacrée à un premier exemple complet de calcul de valeurs propres, puis de recherche des sous-espaces propres associés.

Example 1.4. Calcul de valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice d'ordre 2

Considérons la matrice

A= ( 1 - 2 1 4 )

Son polynôme caractéristique vaut

P A ( λ ) = det ( A - λ I 2 ) = | 1 - λ - 2 1 4 - λ | = ( 1 - λ ) ( 4 - λ ) - ( - 2 ) × 1

Ainsi

P A ( λ ) = λ 2 - 5 λ + 6

On montre facilement (les détails sont laissés au lecteur) que Δ = 1 , λ 1 = 2 et λ 2 = 3 .

La matrice A possède donc deux valeurs propres, 2 et 3, toutes deux de multiplicité 1.

Déterminons maintenant E 2 ( A ) , le sous-espace propre de A associé à la valeur propre 2. On a par définition

E 2 ( A ) = { X M 2 , 1 ( ) , A X = 2 X }

On doit donc résoudre l'équation A X = 2 X où l'inconnue X est un vecteur de deux lignes

( 1 - 2 1 4 ) ( x 1 x 2 ) = 2 ( x 1 x 2 )

Cette équation est équivalente au système suivant

{ x 1 - 2 x 2 = 2 x 1 x 1 + 4 x 2 = 2 x 2

Ce système se simplifie en un système homogène

{ - x 1 - 2 x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 = 0

Les deux équations de ce système sont en fait identiques, l'une suffit donc. On exprime l'inconnue principale x 1 en fonction de l'inconnue secondaire x 2 . Il vient x 1 = - 2 x 2 .

Finalement, on obtient

E 2 ( A ) = { ( - 2 x 2 x 2 ) , x 2 } = { x 2 ( - 2 1 ) , x 2 }

On procède de même pour déterminer E 3 ( A ) , le sous-espace propre de A associé à la valeur propre 3. On a par définition

E 3 ( A ) = { X M 2 , 1 ( ) , A X = 3 X }

On doit donc résoudre l'équation A X = 3 X où l'inconnue X est un vecteur de deux lignes

( 1 - 2 1 4 ) ( x 1 x 2 ) = 3 ( x 1 x 2 )

Cette équation est équivalente au système suivant

{ x 1 - 2 x 2 = 3 x 1 x 1 + 4 x 2 = 3 x 2

Ce système se simplifie en un système homogène

{ - 2 x 1 - 2 x 2 = 0 x 1 + x 2 = 0

Les deux équations de ce système sont en fait identiques (à un facteur multiplicatif près), l'une suffit donc. On exprime l'inconnue principale x 1 en fonction de l'inconnue secondaire x 2 . Il vient x 1 = - x 2 .

Finalement, on obtient

E 3 ( A ) = { ( - x 2 x 2 ) , x 2 } = { x 2 ( - 1 1 ) , x 2 }

[Note]

Dans cet exemple les sous-espaces propres sont des droites vectorielles, ils ne sont en effet engendrés que par un seul vecteur indépendant.

Diagonalisation

Nous allors dans cette seconde partie utiliser les notions de valeurs propres et de vecteurs propres pour associer (dans certains cas) une matrice diagonale à une matrice carrée quelconque.

L’intérêt de cette "transformation" n’est pas négligeable, on verra qu’il est beaucoup plus facile d’effectuer des calculs sur une matrice diagonale que sur une matrice quelconque, comme par exemple le calcul de ses puissances (voir à ce sujet le dernier chapitre de ce cours).

Définition

Rappelons avant toute chose qu'une matrice diagonale est une matrice dont les coefficients sont nuls en dehors de la diagonale.

[Note]

Cette définition et bien d'autres figure dans le premier chapitre du cours.

Nous pouvons maintenant définir le concept de matrice diagonalisable.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

On dit que A est diagonalisable s'il existe une matrice P M n ( ) inversible telle que la matrice P - 1 AP soit une matrice diagonale.

Toutes les matrices ne sont bien sûr pas diagonalisables, comme nous le verrons bientôt sur des exemples. Le résultat suivant est ainsi fondamental, il présente justement une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice soit diagonalisable.

Théorème

Soient n * , et A M n ( ) .

La matrice A est diagonalisable si et seulement si elle possède n vecteurs propres indépendants.

Dans ce cas la matrice P inversible est constituée des vecteurs propres de A, et les coefficients diagonaux de P - 1 AP sont les valeurs propres de A.

[Note]

Dans ce contexte, on dit que P est une matrice de passage.

Le théorème précédent peut se reformuler comme suit.

Théorème

Soient n * , et A M n ( ) .

La matrice A est diagonalisable si et seulement si :

  • la multiplicité de chacune des valeurs propres est égal au nombre de vecteurs propres indépendants dans le sous-espace propre correspondant.

  • la somme des multiplicités des valeurs propres est égale à l’ordre de la matrice.

[Note]

Nous ne rentrerons pas dans les détails de la notion d'indépendance de vecteurs, que le lecteur retienne juste qu'une famille de vecteurs est dite indépendante s'il est impossible d'exprimer l'un des vecteurs de la famille comme une combinaison linéaire des autres.

Exemples numériques

Cette sous-partie va être consacrée à deux exemples d'applications des théorèmes précédents, le premier avec une matrice diagonalisable et le second avec une matrice qui ne l'est pas.

Example 1.5. Une matrice diagonalisable

Considérons la matrice

A = ( 3 5 - 5 - 5 - 7 5 - 5 - 5 3 )

On a

P A ( λ ) = det ( A - λ I 3 ) = | 3 - λ 5 - 5 - 5 - 7 - λ 5 - 5 - 5 3 - λ | = - ( λ + 2 ) 2 ( λ - 3 )

Nous avons laissé les détails de ces calculs au lecteur, il pourra s'entraîner en les faisant.

On a donc deux valeurs propres 3 et -2 qui sont respectivement de multiplicité 1 et 2.

On détermine E 3 ( A ) en résolvant l'équation A X = 3 X . Celle-ci conduit au système

{ 3 x 1 + 5 x 2 - 5 x 3 = 3 x 1 - 5 x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = 3 x 2 - 5 x 1 - 5 x 2 + 3 x 3 = 3 x 3

Simplifions ce système en

{ 5 x 2 - 5 x 3 = 0 - 5 x 1 - 10 x 2 + 5 x 3 = 0 - 5 x 1 - 5 x 2 = 0

On peut effectuer l'opération élémentaire L 1 L 3 en vue d'appliquer la méthode du pivot de Gauss. Il vient

{ - 5 x 1 - 5 x 2 = 0 - 5 x 1 - 10 x 2 + 5 x 3 = 0 5 x 2 - 5 x 3 = 0

Ensuite, on réalise L 2 L 2 - L 1 . D'où

{ - 5 x 1 - 5 x 2 = 0 - 5 x 2 + 5 x 3 = 0 5 x 2 - 5 x 3 = 0

On termine avec L 3 L 3 + L 2 . On obtient

{ - 5 x 1 - 5 x 2 = 0 - 5 x 2 + 5 x 3 = 0 0 = 0

Ce système est échelonné, on exprime les inconnues principales x 1 et x 2 en fonction de l'inconnue secondaire x 3 . Il vient facilement x 2 = x 3 et x 1 = - x 3 .

Finalement

E 3 ( A ) = { ( - x 3 x 3 x 3 ) , x 3 } = { x 3 ( - 1 1 1 ) , x 3 }

Refaisons la même chose avec la seconde valeur propre.

Pour déterminer E - 2 ( A ) on résout l'équation A X = - 2 X . Celle-ci conduit au système

{ 3 x 1 + 5 x 2 - 5 x 3 = - 2 x 1 - 5 x 1 - 7 x 2 + 5 x 3 = - 2 x 2 - 5 x 1 - 5 x 2 + 3 x 3 = - 2 x 3

Simplifions ce système en

{ 5 x 1 + 5 x 2 - 5 x 3 = 0 - 5 x 1 - 5 x 2 + 5 x 3 = 0 - 5 x 1 - 5 x 2 + 5 x 3 = 0

Si l'on réalise les opérations élémentaires L 2 L 2 + L 1 et L 3 L 3 + L 1 , on obtient

{ 5 x 1 + 5 x 2 - 5 x 3 = 0 0 = 0 0 = 0

Ce système est échelonné, on exprime l'inconnues principale x 1 en fonction des inconnues secondaires x 2 et x 3 . Il vient facilement x 1 = - x 2 + x 3 .

Ainsi

E - 2 ( A ) = { ( - x 2 + x 3 x 2 x 3 ) , x 2 , x 3 } = { ( - x 2 x 2 0 ) + ( x 3 0 x 3 ) , x 2 , x 3 } = { x 2 ( - 1 1 0 ) + x 3 ( 1 0 1 ) , x 2 , x 3 }

On peut maintenant conclure avec les arguments suivants :

  • La valeur propre 3 est de multiplicité 1 et son sous-espace propre ne contient qu’un vecteur indépendant.

  • La valeur propre -2 est de multiplicité 2 et son sous-espace propre contient deux vecteurs indépendants.

  • La somme des multiplicités des valeurs propres est égale à l’ordre de la matrice, c'est-à-dire 3.

D’après le théorème précédent, la matrice A est donc diagonalisable.

De plus, on a D = P - 1 A P avec

D = ( 3 0 0 0 - 2 0 0 0 - 2 ) et P = ( - 1 - 1 1 1 1 0 1 0 1 )

[Note]

Lorsque l'on constitue les matrices D et P, l'ordre dans lequel on considère les valeurs propres n'est pas important. Il faut par contre faire attention que cet ordre soit le même dans les deux matrices. Dans l'exemple précédent on a ainsi mis la valeur propre 3 dans la première colonne de D et un vecteur propre associé dans la première colonne de P. Idem pour les deux autres colonnes.

On répète deux fois la valeur propre -2 car elle est de multiplicité 2.

Example 1.6. Une matrice non diagonalisable

Considérons la matrice

A= ( 1 1 0 1 )

Son polynôme caractéristique vaut

P A ( λ ) = det ( A - λ I 2 ) = | 1 - λ 2 0 1 - λ | = ( 1 - λ ) 2

La matrice A ne possède donc qu'une seule valeur propre, 1, qui est de multiplicité 2.

Pour déterminer E 1 ( A ) on résout l'équation A X = X . Celle-ci est équivalente au système

{ x 1 + x 2 = x 1 x 2 = x 2

Ce système se simplifie en un système échelonné homogène

{ x 2 = 0 0 = 0

On a donc

E 1 ( A ) = { ( x 1 0 ) , x 1 } = { x 1 ( 1 0 ) , x 1 }

La valeur propre 1 est de multiplicité 2 mais son sous-espace propre associé ne contient qu'un seul vecteur propre indépendant. D'après le théorème de la sous-partie précédente, A n'est donc pas diagonalisable.


Cas particuliers

Nous allons pour conclure évoquer le cas de certains types de matrices pour lesquels on peut conclure directement à la diagonalisabilité. Nous ne nous étendrons pas sur le sujet.

Théorème

Toute matrice d’ordre n possédant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Il y a enfin le cas des matrices symétriques.

Théorème

Toute matrice symétrique est diagonalisable.

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