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Articles - Étudiants SUPINFO

Chapitre 05 - Puissances de matrices

L’enjeu de ce dernier chapitre va être de présenter différentes techniques permettant de calculer les puissances d’une matrice carrée : recherche d'une formule explicite, utilisation de la formule du binôme de Newton ou encore exploitation de la diagonalisation.

Mais pour que cette question ait encore plus de sens, nous commencerons par donner quelques applications concrètes de ce problème.

Position du problème

Nous allons principalement dans cette première partie expliquer l'intérêt de calculer des puissances de matrices.

Définition

Avant tout, et pour bien fixer les idées, définissons précisément ce que l'on entend par puissances d'une matrice.

Définition

Soient n * , et A M n ( ) .

On pose A 0 = I n , et l'on définit les puissances de la matrice A pour tout p 1 par

A p = A × A p - 1 = A p - 1 × A
[Note]

Cette définition par récurrence signifie bien sûr que A p est égal à

A p = A × A × × A

avec p facteurs.

Au vu de la définition même du produit matriciel, on se persuade assez rapidement que calculer de telles puissances est une question difficile. Mais comme nous allons le voir très vite elle est importante, car elle comporte de nombreuses applications pratiques, par exemple en probabilités ou encore en théorie des graphes.

Suite de Fibonacci

Dans son ouvrage Liber abaci publié en 1202, Leonardo Fibonacci (1175-1250) pose cette petite question : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? ».

[Note]

Nous ferons l'hypothèse très simplificatrice que les lapins sont immortels.

Nous allons maintenant formaliser ce problème. Pour cela, notons x p le nombre de couples de lapins présents au début du mois numéro p. Nous avons initialement x 0 = 0 .

Au début du premier mois nous n'avons donc qu'un seul couple. Au début du second également. Ainsi, x 1 = 1 et x 2 = 1 .

Au début du troisième mois notre couple aura engendré un autre couple. On a donc x 3 = 2 .

Au début du quatrième mois notre premier couple aura engendré un autre couple, tandis que notre second couple n'est pas encore en âge de le faire. D'ou x 4 = 3 .

Au début du cinquième mois, ce seront nos deux premiers couples qui engendreront chacun un autre couple. Ainsi, x 5 = 5 . Etc.

Voici une petite représentation graphique de ce problème :

Figure 1.1. Les lapins de Fibonacci

Les lapins de Fibonacci

Les lapins en âge de procréer au début du mois suivant ont été représentés avec un point rouge ou bleu, selon leur genre.

Avec un peu d'attention, le lecteur n'aura aucun mal à comprendre cette généalogie.


En généralisant les raisonnements précédents, au début du p-ème mois pour un p 2 , on aura donc les lapins déjà présents au mois précédent, il y en a x p - 1 , ainsi que les nouveaux couples engendrés par les lapins en âge de procréer, c'est-à-dire les lapins déjà vivants deux mois avant, au nombre de x p - 2 .

Ainsi, pour tout p 2

x p = x p - 1 + x p - 2

Ce que l'on peut réécrire comme suit : pour tout p 0

x p + 2 = x p + 1 + x p

Voyons maintenant comment utiliser un calcul de puissances de matrices pour exprimer les termes de cette suite dite de Fibonacci.

Posons pour tout p 0

X p = ( x p x p + 1 )

On définit également

A = ( 0 1 1 1 )

On a par définition

X p + 1 = ( x p + 1 x p + 2 )

En utilisant l'équation de récurrence que l'on a établie sur la suite ( x p ) p 0 , il vient

X p + 1 = ( x p + 1 x p + 2 ) = ( x p + 1 x p + 1 + x p )

Or un calcul élémentaire montre que

( x p + 1 x p + 1 + x p ) = ( 0 1 1 1 ) ( x p x p + 1 )

Ainsi

X p + 1 = A X p

On a donc transformé la relation de récurrence sur la suite ( x p ) p 0 en une relation de récurrence sur la suite ( X p ) p 0 . L'intérêt étant que la première était d'ordre 2, i.e. faisait intervenir les deux termes précédents de la suite, alors que la nouvelle est d'ordre 1.

La suite ( X p ) p 0 est donc une suite géométrique de raison A. D'après un résultat bien connu sur ces suites, on a alors pour tout p 0

X p = A p X 0

La connaissance des puissances de A impliquera donc celle de la suite de Fibonacci.

[Note]

Le résultat classique donnant l'expression du terme général d'une suite géométrique réelle s'étend en effet sans problèmes aux matrices.

On peut par exemple le démontrer par récurrence. L'intialisation est évidente, et si pour un p 0 on a X p = A p X 0 , la relation X p + 1 = A X p implique que X p + 1 = A A p X 0 = A p + 1 X 0 . Ce qui est bien l'égalité au rang d'après. Le principe de récurrence permet alors de conclure.

[Note]

Nous calculerons les puissances de cette matrice A lors des séances d'exercices, et nous verrons que celles-ci s'expriment en fontion du nombre d'or.

Dynamique de population

On considère la ville de Tours et sa proche banlieue. On suppose que le population globale de la ville et la banlieue est constante, et que les seules migrations possibles sont pour aller de la ville à la banlieue et inversement.

On observe que chaque année, 10% des habitants de Tours vont vivre en banlieue, et que 20% des habitants de la banlieue vont s’installer en ville.

La question est : comment évolue le nombre d'habitants de la ville de Tours et de sa banlieue ?

Définissons y p comme étant le nombre d'habitants de Tours au bout de p années de ce processus et z p le nombre d'habitants de sa banlieue.

Connaissant les populations de Tours et sa banlieue une certaine année p, la population de Tours l'année suivante sera égale aux 90% d'habitants de la ville n'ayant pas déménagés plus les 20% d'habitants de la banlieue ayant eux déménagés.

On a donc la formule de récurrence suivante

y p + 1 = 0,9 y p + 0,2 z p

On montre de même que

z p + 1 = 0,1 y p + 0,8 z p

Nous avons donc deux suites définies par des relations de récurrences croisées. Pour les déterminer on va simplifier ces relations en utilisant des matrices.

Posons pour cela

X p = ( y p z p )

On définit également

A = ( 0,9 0,2 0,1 0,8 )

On a par définition

X p + 1 = ( y p + 1 z p + 1 )

En utilisant l'équation de récurrence que l'on a établie sur les suites ( y p ) p 0 et ( z p ) p 0 , il vient

X p + 1 = ( y p + 1 z p + 1 ) = ( 0,9 y p + 0,2 z p 0,1 y p + 0,8 z p )

Or un calcul élémentaire montre que

( 0,9 y p + 0,2 z p 0,1 y p + 0,8 z p ) = ( 0,9 0,2 0,1 0,8 ) ( y p z p )

Ainsi

X p + 1 = A X p

On a donc transformé la relation de récurrence sur les suites ( y p ) p 0 et ( z p ) p 0 en une relation de récurrence sur la suite ( X p ) p 0 .

La suite ( X p ) p 0 est donc une suite géométrique de raison A. D'après un résultat bien connu sur ces suites, on a alors pour tout p 0

X p = A p X 0

La connaissance des puissances de A impliquera donc celles des suites donnant la valeur des populations.

[Note]

Ce calcul de puissances sera effectué lors des séances d'exercices.

Recherche d’une formule explicite

La méthode exposée dans cette partie repose sur un peu d'intuition, puisque l'on va chercher à prédire l'expression des puissances avant de la démontrer.

Méthode pour calculer des puissances de matrices après recherche d'une formule explicite

Cette méthode de recherche d'une formule explicite est conceptuellement très simple. Elle repose sur la démarche suivante :

  1. On calcule les premières puissances « à la main ».

  2. A partir des expressions obtenues pour les premières puissances, on conjecture une formule pour n’importe quelle puissance.

  3. On démontre cette formule par récurrence.

La principale difficulté réside évidemment en l'étape de conjecture. Il peut d'ailleurs très bien arriver qu’après le calcul des premières puissances, on n’arrive pas à « deviner » la formule générale. Il faudra alors utiliser une autre méthode.

Exemple

Cette sous-partie va être consacrée à un exemple concret d'application de cette méthode.

Example 1.1. Calcul des puissances d'une matrice par recherche d'une formule explicite

Considérons la matrice

A = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

Développons les trois étapes exposées dans la sous-partie précédente :

  1. Commençons par calculer les premières puissances de A. On a

    A 2 = ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) et A 3 = ( 9 9 9 9 9 9 9 9 9 )
  2. Au vu des calculs précédents, il est naturel de conjecturer que pour tout p 1

    A p = ( 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 ) = 3 p - 1 A
  3. Démontrons à présent la conjecture précédente par récurrence.

    Initialisation : pour p = 1 la formule est évidente.

    Hérédité : on suppose la formule vraie pour un p 1 , et on la démontre au rang p + 1 . On a

    A p + 1 = A × A p = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 3 p - 1 )

    Chaque terme de la matrice A p + 1 vaut donc 3 p - 1 + 3 p - 1 + 3 p - 1 , c'est-à-dire 3 × 3 p - 1 = 3 p . On a donc bien

    A p + 1 = ( 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 p )

    La formule est donc vérifiée au rang p + 1 .

    D’après le principe de récurrence, la formule est donc bien démontrée pour tout p 1 .


Exercice

Dans cette sous-partie, nous allons proposer au lecteur un petit exercice où il devra appliquer cette méthode.

Exercice corrigé

1.1.

Considérons la matrice

A = ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 )

Calculer les puissances de A en utilisant la méthode de recherche d'une formule explicite.

Voici les trois étapes qu'il fallait suivre :

  1. On commence par calculer les premières puissances de A. On obtient

    A 2 = ( 2 0 2 0 1 0 2 0 2 ) et A 3 = ( 4 0 4 0 1 0 4 0 4 )
  2. On conjecture ensuite que pour tout p 1

    A p = ( 2 p - 1 0 2 p - 1 0 1 0 2 p - 1 0 2 p - 1 )
  3. On conclut en démontrant la conjecture précédente par récurrence.

    Initialisation : pour p = 1 la formule est évidente.

    Hérédité : on suppose la formule vraie pour un p 1 , et on la démontre au rang p + 1 . On a

    A p + 1 = A × A p = ( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ) ( 2 p - 1 0 2 p - 1 0 1 0 2 p - 1 0 2 p - 1 ) = ( 2 p - 1 + 2 p - 1 0 2 p - 1 + 2 p - 1 0 1 0 2 p - 1 + 2 p - 1 0 2 p - 1 + 2 p - 1 )

    Or 2 p - 1 + 2 p - 1 = 2 × 2 p - 1 = 2 p , donc

    A p + 1 = ( 2 p 0 2 p 0 1 0 2 p 0 2 p )

    La formule est ainsi vérifiée au rang p + 1 .

    D’après le principe de récurrence, la formule est donc bien démontrée pour tout p 1 .

[Note]

Dans cet exercice, pour être sûr de la formule conjecturée on aurait pu calculer également A 4 . En effet, les 2 et 4 que l'on trouve dans les expressions de A 2 et A 3 sont à la fois des puissances de 2 et des multiples de 2. Le calcul de A 4 aurait levé l'éventuel doute.

Utilisation de la formule du binôme de Newton

Nous allons voir dans cette partie comment utiliser la formule du binôme afin de calculer les puissances d'une matrice.

Cette formule est due au mathématicien anglais Isaac Newton (1642-1727).

Formule du binôme de Newton pour des matrices

On va généraliser aux matrices la formule que l’on a présentée dans le troisième chapitre du cours de théorie des ensembles 1SET, et qui était destinée aux nombres réels.

Rappelons pour commencer la définition des coefficients binomiaux.

Définition

Soient p et 0 k p .

On a

( p k ) = p ! k ! ( p - k ) !

0 ! = 1 et

p ! = p × ( p - 1 ) × × 2 × 1

La formule du binôme pour des matrices va être formellement la même que pour des nombres réels. Pour pouvoir l'appliquer, on devra cependant faire l'hypothèse supplémentaire que les matrices commutent.

Binôme de Newton

Soient n * , et B,C M n ( ) .

On suppose que B et C commutent, c'est-à-dire que B C = C B .

Pour p 1 on a alors

( B + C ) p = k = 0 p ( p k ) B k C p - k
[Note]

Cette formule se démontre de la même façon que sa version avec des nombres réels.

Terminons cette sous-partie par un exemple montrant que l'hypothèse de commutativité B C = C B est nécessaire.

Example 1.2. Contre-exemple à la formule du binôme pour des matrices qui ne commutent pas

Considérons les matrices

B = ( 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 1 1 ) et C = ( 1 1 0 1 1 0 0 0 1 )

On a

B C = ( 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 1 1 ) et C B = ( 1 1 0 1 1 0 0 0 1 )

Les matrices B et C ne commutent donc pas.

On vérifie alors, les calculs sont laissés au lecteur, que

( B + C ) 2 = ( 5 1 4 - 1 3 - 4 4 4 4 ) et B 2 + 2 B C + C 2 = ( 5 1 5 - 1 3 - 5 5 5 4 )

La formule du binôme n'est donc même pas vérifiée pour un exposant égal à 2.


Méthode pour calculer des puissances de matrices avec la formule du binôme

Voici les étapes pour calculer les puissances d'une matrice A à l'aide de la formule du binôme de Newton :

  1. On essaie de décomposer A comme somme de deux matrices qui commutent : A = B + C avec B C = C B .

  2. On calcule les puissances de B et C.

  3. On conclut à l’aide de la formule du binôme.

A la lecture de cette méthode l'on comprend bien qu'elle ne sera pas toujours applicable. Il faut déjà pouvoir en effet réaliser la décomposition de la première étape.

Ce premier écueil franchi, il faut ensuite espérer que le calcul des puissances de B et C soit facile. En effet, puisque l'on ramène le calcul des puissances de A à celles de B et C, il n'y aura d'intérêt que si l'on a gagné en complexité.

Exemple

Nous allons donner dans cette sous-partie un exemple concret d'application de cette méthode.

Example 1.3. Calcul des puissances d'une matrice en utilisant la formule du binôme

Considérons la matrice

A = ( 1 1 0 0 1 1 0 0 1 )

Développons les trois étapes exposées dans la sous-partie précédente :

  1. On décompose A comme A = B + I 3 avec

    B = ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 )

    Il est de plus clair que B et I 3 commutent car B I 3 = I 3 B = B .

  2. Il nous faut maintenant calculer les puissances de B et I 3 .

    On a par définition de la matrice identité, I 3 k = I 3 pour tout k 0 .

    On calcule ensuite les puissances de B. On a

    B 2 = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) et B 3 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )

    On aura donc B k = O 3 pour tout k 3 .

  3. On applique pour conclure la formule du binôme de Newton

    A p = ( B + I 3 ) p = k = 0 p ( p k ) B k I 3 p - k

    Comme remarqué précédemment, I 3 p - k = I 3 , donc cette égalité se simplifie en

    A p = k = 0 p ( p k ) B k

    Mais puisque B k = O 3 pour tout k 3 , cette somme s'arrête à k = 2

    A p = k = 0 2 ( p k ) B k

    Ainsi

    A p = ( p 0 ) B 0 + ( p 1 ) B 1 + ( p 2 ) B 2

    D'où

    A p = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) + p ( 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ) + p ( p - 1 ) 2 ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 )

    Et donc finalement

    A p = ( 1 p p ( p - 1 ) 2 0 1 p 0 0 1 )

[Note]

Comme dans cet exemple, on utilisera souvent la matrice identité comme l'une des deux matrices de la décomposition. Cela garantit des calculs simples et surtout la commutativité. En contrepartie, les possibilités d'application de cette méthode s'en trouvent limitées.

Exercice

L'exercice suivant va permettre au lecteur de tester sa bonne compréhension de cette méthode.

Exercice corrigé

1.1.

Considérons la matrice

A = ( 1 2 3 0 1 2 0 0 1 )

Calculer les puissances de A en utilisant la formule du binôme de Newton.

Voici les trois étapes qu'il fallait suivre :

  1. On décompose A comme A = B + I 3 avec

    B = ( 0 2 3 0 0 2 0 0 0 )

    Il est de plus clair que B et I 3 commutent car B I 3 = I 3 B = B .

  2. Il nous faut maintenant calculer les puissances de B et I 3 .

    On a par définition de la matrice identité, I 3 k = I 3 pour tout k 0 .

    On calcule ensuite les puissances de B. On a

    B 2 = ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 ) et B 3 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )

    On aura donc B k = O 3 pour tout k 3 .

  3. On applique pour conclure la formule du binôme de Newton

    A p = ( B + I 3 ) p = k = 0 p ( p k ) B k I 3 p - k

    Comme remarqué précédemment, I 3 p - k = I 3 , donc cette égalité se simplifie en

    A p = k = 0 p ( p k ) B k

    Mais puisque B k = O 3 pour tout k 3 , cette somme s'arrête à k = 2

    A p = k = 0 2 ( p k ) B k

    Ainsi

    A p = ( p 0 ) B 0 + ( p 1 ) B 1 + ( p 2 ) B 2

    D'où

    A p = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) + p ( 0 2 3 0 0 2 0 0 0 ) + p ( p - 1 ) 2 ( 0 0 4 0 0 0 0 0 0 )

    Et donc finalement

    A p = ( 1 2 p 3 p + 2 p ( p - 1 ) 0 1 2 p 0 0 1 )

Utilisation de la diagonalisation

La méthode que nous allons présenter dans cette partie va être applicable à toutes les matrices diagonalisables, ce qui la rendra plus générale que les deux précédentes.

Il s'agit d'ailleurs de l'une des utilisations les plus importantes de la diagonalisation.

Résultats préliminaires

Commençons par présenter un résultat reliant les puissances d'une matrice diagonalisable à celles de sa matrice diagonale associée.

Propriété

Soient n * , et A,D,P M n ( ) .

On suppose de plus que la matrice P est inversible, et que l'on a la relation A = P D P - 1 .

Alors, pour tout p 0 on a A p = P D p P - 1 .

Démonstration

Soit p 0 .

On a

A p = P D P - 1 × P D P - 1 × P D P - 1 × × P D P - 1

En utilisant l'associativité du produit matriciel, il vient

A p = P D ( P - 1 P ) D ( P - 1 P ) D P - 1 × × P D P - 1

D'ou

A p = P D I n D I n D × × D P - 1

Et donc finalement A p = P D p P - 1 . Q.E.D.

La propriété précédente va être très intéressante car le calcul des puissances d'une matrice diagonale s'avère extrèmement simple.

Propriété

Soient n * , et D M n ( ) .

On suppose que la matrice D est diagonale, c'est-à-dire de la forme

D= ( λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n )

Alors, pour tout p 0 on a

D p = ( λ 1 p 0 0 0 λ 2 p 0 0 0 λ n p )

Démonstration

Ce résultat ce démontre très simplement par récurrence.

L'initialisation pour p = 0 est évidente.

Supposons ensuite que l'égalité soit vérifiée pour un p 0 . On a alors

D p + 1 = D × D p = ( λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n ) ( λ 1 p 0 0 0 λ 2 p 0 0 0 λ n p ) = ( λ 1 λ 1 p 0 0 0 λ 2 λ 2 p 0 0 0 λ n )

D'où

D p + 1 = ( λ 1 p + 1 0 0 0 λ 2 p + 1 0 0 0 λ n p + 1 )

L'égalité est donc démontrée au rang p + 1 .

Le principe de récurrence permet alors de conclure.

[Note]

Pour avoir l'intuition de l'expression de D p , il suffisait d'appliquer la méthode de recherche d'une formule explicite présentée dans la partie 2, c'est-à-dire calculer les premières puissances de D.

Méthode pour calculer des puissances de matrices après diagonalisation

Présentons maintenant la démarche à suivre pour calculer les puissances d'une matrice A diagonalisable :

  1. On diagonalise A, c'est-à-dire que l'on détermine la matrice P inversible et la matrice D diagonale telles que A = P D P - 1 .

  2. On calcule les puissances de la matrice diagonale D grâce à la propriété de la sous-partie précédente.

  3. On calcule l'inverse de la matrice P.

  4. On conclut en utilisant l'égalité A p = P D p P - 1 .

Exemple

Appliquons cette méthode sur un exemple concret.

Example 1.4. Calcul des puissances d'une matrice après diagonalisation

Considérons la matrice

A = ( 3 - 4 - 2 1 )

Développons les quatre étapes exposées dans la sous-partie précédente :

  1. Pour diagonaliser A on commence par calculer son polynôme caractéristique

    P A ( λ ) = det ( A - λ I 2 ) = | 3 - λ - 4 - 2 1 - λ | = ( 3 - λ ) ( 1 - λ ) - ( - 4 ) × ( - 2 )

    Ainsi

    P A ( λ ) = λ 2 - 4 λ - 5

    On montre facilement (les détails sont laissés au lecteur) que Δ = 36 , λ 1 = - 1 et λ 2 = 5 .

    La matrice A possède donc deux valeurs propres, -1 et 5, toutes deux de multiplicité 1.

    Déterminons maintenant E - 1 ( A ) , le sous-espace propre de A associé à la valeur propre 2. On a par définition

    E - 1 ( A ) = { X M 2 , 1 ( ) , A X = - X }

    On doit donc résoudre l'équation A X = - X où l'inconnue X est un vecteur de deux lignes

    ( 3 - 4 - 2 1 ) ( x 1 x 2 ) = - ( x 1 x 2 )

    Cette équation est équivalente au système suivant

    { 3 x 1 - 4 x 2 = - x 1 - 2 x 1 + x 2 = - x 2

    Ce système se simplifie en un système homogène

    { 4 x 1 - 4 x 2 = 0 - 2 x 1 + 2 x 2 = 0

    Les deux équations de ce système sont en fait identiques (à un facteur multiplicatif près), l'une suffit donc. On exprime l'inconnue principale x 1 en fonction de l'inconnue secondaire x 2 . Il vient x 1 = x 2 .

    Finalement, on obtient

    E - 1 ( A ) = { ( x 2 x 2 ) , x 2 } = { x 2 ( 1 1 ) , x 2 }

    On procède de même pour déterminer E 5 ( A ) , le sous-espace propre de A associé à la valeur propre 5. On a par définition

    E 5 ( A ) = { X M 2 , 1 ( ) , A X = 5 X }

    On doit donc résoudre l'équation A X = 5 X où l'inconnue X est un vecteur de deux lignes

    ( 3 - 4 - 2 1 ) ( x 1 x 2 ) = 5 ( x 1 x 2 )

    Cette équation est équivalente au système suivant

    { 3 x 1 - 4 x 2 = 5 x 1 - 2 x 1 + x 2 = 5 x 2

    Ce système se simplifie en un système homogène

    { - 2 x 1 - 4 x 2 = 0 - 2 x 1 - 4 x 2 = 0

    Les deux équations de ce système sont en fait identiques, l'une suffit donc. On exprime l'inconnue principale x 1 en fonction de l'inconnue secondaire x 2 . Il vient x 1 = - 2 x 2 .

    Finalement, on obtient

    E 5 ( A ) = { ( - 2 x 2 x 2 ) , x 2 } = { x 2 ( - 2 1 ) , x 2 }

    Le critère de diagonalisation est vérifié puisque chaque valeur propre est de multiplicité 1, les sous-espaces propres associés contiennnent un vecteur propre et la somme des multiplicités est égale à l'ordre de la matrice, c'est-à-dire 2.

    On a donc A = P D P - 1 avec

    D = ( 5 0 0 - 1 ) et P = ( - 2 1 1 1 )
  2. On a alors pour tout p 0

    D p = ( 5 p 0 0 ( - 1 ) p )
  3. Le calcul de l'inverse de P par la méthode des cofacteurs conduit facilement à

    P - 1 = 1 3 ( - 1 1 1 2 )
  4. On conclut alors en utilisant la relation A p = P D p P - 1 . Il vient

    A = ( - 2 1 1 1 ) ( 5 p 0 0 ( - 1 ) p ) 1 3 ( - 1 1 1 2 )

    Ce qui donne après développement du produit

    A = 1 3 ( 2 × 5 p + ( - 1 ) p - 2 × 5 p + 2 × ( - 1 ) p - 5 p + ( - 1 ) p 5 p + 2 × ( - 1 ) p )

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