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Articles - Étudiants SUPINFO

Chapitre 02 - Opérations sur les ensembles. Applications

Nous allons dans ce second chapitre étudier les opérations existantes sur les ensembles, puis définir la notion d'application entre deux ensembles.

Opérations sur les ensembles

Cette première partie sera consacrée à la présentation des diverses opérations que l'on peut effectuer sur des ensembles, en particulier l'intersection, la réunion et le passage au complémentaire.

Ensembles et sous-ensembles

Nous ne donnerons pas de définition d’un ensemble, nous considèrerons que le lecteur comprend intuitivement ce concept.

Les objets qui constituent un ensemble seront appelés les éléments de cet ensemble. En général, nous désignerons les ensembles avec des majuscules et leurs éléments avec des minuscules.

[Note]

Il est sous-entendu que dans un ensemble un élément ne peut être présent qu’au plus une fois. Il n'y a donc pas de doublons.

Notation

Pour signifier que x est un élément d’un ensemble E, nous noterons x E .

Le symbole est appelé le sigle d'appartenance.

Au contraire, si x n'est pas un élément d’un ensemble E, nous noterons x E .

Il y a deux moyens d'écrire les ensembles, en extension et en compréhension.

Ecriture en extension

On écrit tous les éléments de l'ensemble entre accolades, sans se soucier d'un quelconque ordre.

Example 1.1. Ensemble écrit en extension

Ensemble des cinq continents : { Afrique , Amérique , Europe , Asie , Océanie } .


[Note]

Dans le cas d’un ensemble infini on pourra avoir recours à des points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels peut s'écrire { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } .

Ecriture en compréhension

On définit l’ensemble comme étant constitué de tous les éléments d’un autre ensemble qui vérifient une certaine propriété.

Example 1.2. Ensemble écrit en compréhension

Un ensemble composé de réels vérifiants une certaine inégalité : { x , x 2 8 } .


[Note]

Un même ensemble peut tout à fait s’écrire en extension et en compréhension. Par exemple, { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } et { n , 0 n 9 } désignent le même ensemble.

Nous allons maintenant définir quelques ensembles très particuliers.

Définitions

L'ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. Il est unique et est noté .

Un singleton est un ensemble constitué d'un seul élément, et donc de la forme E = { x } . On prendra soin de distinguer l'élément x de l'ensemble { x } .

Une paire est un ensemble constitué de deux éléments, et donc de la forme E = { x , y } .

En guise d'exemples, présentons les ensembles les plus couramment utilisés en mathématiques élémentaires.

Example 1.3. Les ensembles numériques usuels

  • Ensemble des entiers naturels : = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } .

  • Ensemble des entiers relatifs : = { . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } .

  • Ensemble des rationnels : = { p q , p , q , q 0 } .

  • Ensemble des nombres réels : .

  • Ensemble des nombres complexes : .


Poursuivons par la notion d'inclusion qui traduit le fait qu'un ensemble est une partie d'un autre.

Définition

On dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont éléments de B. On note alors A B .

On peut aussi utiliser les formulations A est un sous-ensemble de B ou encore A est une partie de B.

Avec les notations du premier chapitre, l'inclusion peut également s'écrire comme une implication :

A B ( x , x A x B )

Pour illustrer nos concepts, nous prendrons l'habitude de réaliser des diagrammes d'Euler.

[Note]

Le lecteur n'aura aucun mal à comprendre le fonctionnement de ces diagrammes, nous ne présenterons donc pas de généralités à leur sujet. Voir cette référence pour les plus curieux.

Cette représentation des ensembles est due à Leonhard Euler (1707-1783).

Figure 1.1. Illustration de l'inclusion

Illustration de l'inclusion

Le résultat suivant est trivial.

Propriété

Pour tout ensemble A, on a A A et A .

La prochaine propriété est assez intuitive, elle stipule qu'une égalité entre deux ensembles correspond à une conjonction de deux inclusions.

[Note]

Par définition, deux ensembles sont bien sûrs égaux s'ils contiennent les mêmes éléments.

Propriété

Soient A et B deux ensembles.

On a

A = B ( ( A B ) ( B A ) )

Cette égalité justifie la méthode dite de double inclusion : pour montrer que deux ensembles sont égaux, on montre que le premier est inclus dans le second et que réciproquement le second est inclus dans le premier.

Intersection, réunion

Cette sous-partie sera consacrée à l'étude de deux opérations binaires portant sur les ensembles, l'intersection et la réunion.

Intersection

Définition

On appelle intersection de deux ensembles A et B l’ensemble noté A B constitué des éléments qui appartiennent à A et à B.

Avec les notations du premier chapitre, l'intersection peut également s'écrire comme une conjonction :

A B = { x , ( x A ) ( x B ) }

Réalisons un diagramme d'Euler afin de bien appréhender cette notion.

Figure 1.2. Illustration de l'intersection

Illustration de l'intersection

La plupart des propriétés suivantes sont élémentaires, nous laisserons d'ailleurs le lecteur réfléchir à leurs preuves.

Propriétés

Soient A, B et C des ensembles.

On a :

  • A B = B A , i.e. l'intersection est commutative.

  • ( A B ) C = A ( B C ) , i.e. l'intersection est associative.

  • ( A B ) A et ( A B ) B .

  • A A = A .

  • A = , i.e. est un élément absorbant pour l'intersection.

  • Si A B = , A et B sont dits disjoints.

  • Si A B , alors A B = A .

[Note]

Un élément absorbant pour une opération binaire est défini par le fait que le résultat de l'opération entre n'importe quel élément et l'élément absorbant est l'élément absorbant. En quelque sorte il impose le résultat de l'opération.

Comme par exemple zéro pour la multiplication des réels et donc l'ensemble vide pour l'intersection.

Réunion

Définition

On appelle réunion de deux ensembles A et B l’ensemble noté A B constitué des éléments qui appartiennent à A ou à B.

Avec les notations du premier chapitre, la réunion peut également s'écrire comme une disjonction :

A B = { x , ( x A ) ( x B ) }

Représentons cette notion par un diagramme d'Euler.

Figure 1.3. Illustration de la réunion

Illustration de la réunion

Voici quelques propriétés vérifiées par l'opération de réunion.

Propriétés

Soient A, B et C des ensembles.

On a :

  • A B = B A , i.e. la réunion est commutative.

  • ( A B ) C = A ( B C ) , i.e. la réunion est associative.

  • A ( A B ) et B ( A B ) .

  • A A = A .

  • A = A , i.e. est un élément neutre pour la réunion.

  • Si A B , alors A B = B .

[Note]

Un élément neutre pour une opération binaire est défini par le fait que le résultat de l'opération entre l'élément neutre et n'importe quel élément est ce dernier. En quelque sorte il n'influe pas sur le résultat de l'opération.

Comme par exemple 1 pour la multiplication des réels et donc l'ensemble vide pour la réunion.

Distributivité

Il existe des relations de distributivité entre l'intersection et la réunion.

Formules de distributivité

Soient A, B et C des ensembles.

L’intersection est distributive par rapport à la réunion

A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

La réunion est distributive par rapport à l’intersection

A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
[Note]

Pour démontrer ces égalités on utilise la méthode de la double inclusion. C'est n'est pas bien difficile et c'est d'ailleurs au programme des séances d'exercices.

Complémentaire

Présentons maintenant une opération unaire, c'est-à-dire qui ne porte que sur un seul ensemble.

Définition

Étant donné un sous-ensemble A d’un ensemble E, on appelle complémentaire de A dans E, l’ensemble noté C E ( A ) ou A constitué des éléments de E qui n'appartiennent pas à A.

Avec les notations du premier chapitre, le complémentaire peut également s'écrire comme une disjonction :

C E ( A ) = { x , ( x E ) ( x A ) }
[Note]

La notation A ne doit être employée que s'il n’y a aucune ambiguïté quand à l’ensemble E par rapport auquel on prend le complémentaire. On privilégiera donc l’autre notation.

Dessinons un diagramme d'Euler pour bien visualiser cette notion.

Figure 1.4. Illustration du complémentaire

Illustration du complémentaire

Les formules ci-dessous devraient donner une impression de déjà-vu au lecteur.

Formules de De Morgan

Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E.

Complémentaire d'une intersection

C E ( A B ) = C E ( A ) C E ( B )

Complémentaire d'une réunion

C E ( A B ) = C E ( A ) C E ( B )
[Note]

Il est manifeste que ces formules ressemblent à celles du même nom présentées dans le premier chapitre de ce cours. Nous reviendrons sur cette analogie lors du quatrième chapitre.

La définition qui suit ressemble à celle du complémentaire, elle en diffère juste sur le fait qu'il n'y a pas d'hypothèse d'inclusion entre les deux ensemble considérés.

Définition

On appelle différence d'un ensemble A par rapport à un ensemble B l’ensemble noté A \ B constitué des éléments de A qui n'appartiennent pas à B.

Avec les notations du premier chapitre, la différence peut également s'écrire comme une conjonction :

A \ B = { x , ( x A ) ( x B ) }

Un diagramme d'Euler nous permettra de bien cerner cette notion et de bien comprendre la différence avec le concept de complémentaire.

Figure 1.5. Illustration de la différence

Illustration de la différence

Terminons cette partie par une définition poursuivant l'idée de différence.

Définition

On appelle différence symétrique de deux ensembles A et B l’ensemble noté A Δ B constitué des éléments qui qui sont dans l'un des deux ensembles sans être dans les deux à la fois.

Avec les notations du premier chapitre, la différence symétrique peut également s'écrire comme une disjonction :

A Δ B = { x , ( x A \ B ) ( x B \ A ) }

Réalisons notre traditionnel diagramme d'Euler.

Figure 1.6. Illustration de la différence symétrique

Illustration de la différence symétrique

[Note]

Il est très facile de voir que A Δ B = ( A \ B ) ( B \ A ) .

Autre façon de voir les choses, A Δ B = ( A B ) \ ( B A ) .

Applications

Nous allons dans cette seconde partie définir la notion d'application, puis nous intéresser aux cas particuliers des surjections, injections et bijections.

Premières définitions

Commençons par les définitions des concepts de base.

Définitions

Soient E et F deux ensembles.

Définir une application f de E dans F consiste à associer à tout élément x de E un élément unique y de F.

Cet élément y, noté f ( x ) , est appelé l’image de x par f.

L’élément x est un antécédent de y par f.

E est l’ensemble de départ de f et F en est l’ensemble d’arrivée.

Comme lors de la première partie, nous réaliserons régulièrement des schémas afin d'illustrer les concepts nouvellement définis. Pour représenter une application, le schéma utilisé s'appelle un diagramme sagittal.

[Note]

Comme pour les diagrammes d'Euler, pas besoin d'exposé général pour comprendre comment s'interpètent ces diagrammes sagittaux.

En voici un premier à propos de la notion d'image.

Figure 1.7. Image d'un élément

Image d'un élément

Ici, y est l'image de x par f, i.e. y = f ( x ) .


[Note]

Bien comprendre que la définition précédente implique que tout élément de l'espace de départ possède une image et que celle-ci est unique.

Et en voici un second pour bien visualiser la définition d'antécédent.

Figure 1.8. Antécédents d'un élément

Antécédents d'un élément

Dans ce cas de figure, x 1 , x 2 et x 3 sont des antécédents de y par f, i.e. f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = f ( x 3 ) = y .


[Note]

Bien comprendre que la définition précédente implique que tout élément de l'espace d'arrivée peut avoir zéro ou plusieurs antécédents.

Pour notre premier exemple concret, nous allons utiliser la très connue fonction carré.

Example 1.4. Antécédents par la fonction carré

Considérons l’application f de dans définie par f ( x ) = x 2 .

Le graphe de cette application est bien connu du lecteur mais il ne coûte rien de lui rappeler :

On cherche à déterminer les antécédents de n'importe quel réel par f. Pour cela on doit distinguer les trois cas de figure suivants :

  • Tout réel strictement négatif n’admettra aucun antécédent dans par f.

  • 0 admet un unique antécédent.

  • Tout réel strictement positif admet deux antécédents dans par f.


La définition suivante est celle d'une application bien particulière, elle laisse en effet les éléments d'un ensemble inchangés.

Définition

Soit E un ensemble.

L'application de E dans E qui à un élément x associe x est appelée application identité de E. On la note généralement Id E .

Par définition, on a donc xE, I d E ( x ) = x .

Composition d’applications

Il est tout à fait possible d'enchaîner les applications, c'est-à-dire en appliquer une seconde aux images provenant d'une première.

Définition

Soient E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans G.

L'application de E dans G notée g f et définie par

x E , ( g f ) ( x ) = g ( f ( x ) )

est appelée composée de f par g.

[Note]

A l'oral on prononce "g rond f".

Représentons cette opération de composition par un diagramme sagittal.

Figure 1.9. Diagramme sagittal d'une composée

Diagramme sagittal d'une composée

Image directe, image réciproque

On va dans cette sous-partie donner des défintions ne portant plus seulement sur des éléments, mais sur des sous-ensembles des espaces de départ et d'arrivée. Plus précisément, on va voir comment ils sont transformés par l'application.

Définitions

Soient E et F deux ensembles, et f une application de E dans F.

Soit A un sous-ensemble de E et B un sous-ensemble de F.

On appelle image directe de A par f l’ensemble noté f ( A ) des images par f des éléments de A. Il s'agit donc d'un sous-ensemble de F dont voici l'expression littérale

f ( A ) = { y F , x A , y = f ( x ) } = { f ( x ) , x A }

On appelle image réciproque de B par f l’ensemble noté f - 1 ( B ) des antécédents par f des éléments de B. Il s'agit donc d'un sous-ensemble de E dont voici l'expression littérale

f 1 ( B ) = { x E , f ( x ) B }

Des diagrammes sagittaux nous permettront de mieux appréhender ces deux définitions un peu plus complexes que les précédentes.

Figure 1.10. Image directe

Image directe

L'image directe par f du sous-ensemble A de E constitué des éléments x 1 , x 2 et x 3 est le sous-ensemble de F composé des images de ces trois éléments, i.e. y 1 et y 2 .


Figure 1.11. Image réciproque

Image réciproque

L'image réciproque par f du sous-ensemble B de F constitué des éléments y 1 et y 2 est le sous-ensemble de E composé des antécédents de ces deux éléments, i.e. x 1 , x 2 et x 3 .


Utilisons de nouveau la fonction carré comme exemple.

Example 1.5. Images directes et images réciproques par la fonction carré

Considérons l’application f de dans définie par f ( x ) = x 2 .

Nous allons exprimer quelques images directes et réciproques de sous-ensembles de par f. Que le lecteur prenne bien le temps de comprendre chaque cas de figure, en s'aidant si besoin est de la représentation graphique de la fonction carré rappelée dans l'exemple de la sous-partie 2.1.

  • f ( [ 1 ; 2 ] ) = [ 1 ; 4 ] .

  • f ( [ 4 ; 3 ] ) = [ 9 ; 16 ] .

  • f ( [ 1 ; 2 ] ) = [ 0 ; 4 ] .

  • f 1 ( [ 0 ; 4 ] ) = [ 2 ; 2 ] .

  • f 1 ( [ 1 ; 4 ] ) = [ 2 ; 1 ] [ 1 ; 2 ] .

  • f 1 ( [ 12 ; 4 ] ) = .

  • f 1 ( [ 3 ; 16 ] ) = [ 4 ; 4 ] .


Surjections

Dans cette sous-partie et les suivantes, nous allons caractériser certaines applications en fonction du nombre d'antécédents des éléments de l'ensemble d'arrivée. Commençons par la notion de surjection.

Définition

Soient E et F deux ensembles, et f une application de E dans F.

On dit que f est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée admet au moins un antécédent par f.

De façon littérale cela donne

y F , x E , y = f ( x )

Illustrons ce concept avec un diagramme sagittal.

Figure 1.12. Représentation sagittale d'une application surjective

Représentation sagittale d'une application surjective

L'application f est surjective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivée ont au moins un antécédent par f.


[Note]

Cela nécessite moralement qu'il y ait au moins autant d'éléments dans l'espace de départ que dans l'espace d'arrivée.

Reprenons la fonction carré en exemple.

Example 1.6. Surjectivité de la fonction carré

L’application f de dans définie par f ( x ) = x 2 n'est pas surjective car l'élément - 3 de l'ensemble d'arrivée n'admet pas d'antécédent par f.

L’application g de dans + définie par f ( x ) = x 2 est par contre surjective.


[Note]

Au vu de l'exemple précédent, on comprend bien que pour affirmer qu'une application est surjective ou non il faut évidemment prendre en compte son expression mais aussi les ensembles de départ et d'arrivée.

Ce qui est ceci-dit tout à fait logique.

Injections

Présentons maintenant le concept d'injection.

Définition

Soient E et F deux ensembles, et f une application de E dans F.

On dit que f est injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée admet au plus un antécédent par f.

De façon équivalente cela revient à dire que si deux éléments de l'espace de départ sont différents, leurs images sont différentes également

xE, x E, ( x x ) ( f ( x ) f ( x ) )

On préfère souvent utiliser la contraposée de l'implication précédente afin de caractériser une application injective

xE, x E, ( f ( x ) = f ( x ) ) ( x = x )
[Note]

Par "au plus un" on sous-entend bien sûr que zéro est possible.

Réalisons un diagramme sagittal à propos de cette définition.

Figure 1.13. Représentation sagittale d'une application injective

Représentation sagittale d'une application injective

L'application f est injective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivée ont au plus un antécédent par f.


[Note]

Cela nécessite moralement qu'il y ait au moins autant d'éléments dans l'espace d'arrivée que dans l'espace de départ.

Poursuivons notre exemple récurrent de la fonction carré.

Example 1.7. Injectivité de la fonction carré

L’application f de dans définie par f ( x ) = x 2 n'est pas injective car par exemple l'élément 4 de l'ensembe d'arrivée admet deux antécédents par f, à savoir -2 et 2.

L’application g de + dans définie par f ( x ) = x 2 est par contre injective.


[Note]

Même remarque que pour les surjections, le choix des ensembles de départ et d'arrivée est prépondérant.

Bijections

La notion de bijection va regrouper celles de surjection et d'injection.

Définition

Soient E et F deux ensembles, et f une application de E dans F.

On dit que f est bijective si tout élément de l’ensemble d’arrivée admet un antécédent et un seul par f.

On dit aussi que f réalise une bijection de E sur F.

Réalisons notre traditionnel diagramme sagittal.

Figure 1.14. Représentation sagittale d'une application bijective

Représentation sagittale d'une application bijective

L'application f est bijective car tous les éléments de l'ensemble d'arrivée ont exactement un antécédent par f.


[Note]

Cela nécessite moralement qu'il y ait autant d'éléments dans l'espace d'arrivée que dans l'espace de départ.

Comme nous en avons pris l'habitude, utilisons la fonction carré comme exemple.

Example 1.8. Bijectivité de la fonction carré

L’application f de dans + définie par f ( x ) = x 2 n'est pas bijective car l'élément 4 de l'espace d'arrivée admet deux antécédents par f, à savoir -2 et 2.

L’application g de + dans + définie par f ( x ) = x 2 est par contre bijective.


Obtenir la petite caractérisation suivante d'une application bijective est très simple.

Propriété

Une application f d’un ensemble E dans un ensemble F est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.

[Note]

En pratique, on se sert toujours de l'assertion précédente pour montrer qu'une application est bijective.

Si l'on dispose d'une application bijective f, on peut très bien imaginer une application qui a tout élément de l'ensemble d'arrivée associe son unique antécédent par f. Cette remarque conduit à la définition suivante.

Définition

Soient E et F deux ensembles, et f une application bijective de E dans F.

On appelle application réciproque de f, notée f - 1 , l’application de F dans E définie pour tout y de F par

( x = f 1 ( y ) ) ( y = f ( x ) )
[Note]

Le terme inverse est parfois employé à la place de réciproque mais il s'agit d'une incorrection.

L'application réciproque d'une application bijective f réalise donc en quelque sorte le travail opposé à celui de f. Il n'est donc pas surprenant que leur composition soit l'application identité.

Propriété

Soient E et F deux ensembles, f une application bijective de E dans F et f - 1 son application réciproque.

On a f 1 f = I d E et f f 1 = I d F .

Reprenons une dernière fois la fonction carré en exemple.

Example 1.9. Réciproque de la fonction carré

L’application g de + dans + définie par f ( x ) = x 2 est bijective et son application réciproque est l'application g - 1 de + dans + définie par g - 1 = x .


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